Question

19．如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為邊BC、CD的點(diǎn)，AF、DE相交于點(diǎn)G．如圖1，若點(diǎn)E、F不是正方形ABCD的邊BC、CD的中點(diǎn)，但滿足CE=DF．

（1）如圖1線段AF與DE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？（直接寫出結(jié)論，不必證明）
（2）如圖2，在（1）的基礎(chǔ)上，連接AE和EF，若點(diǎn)M、N、P、Q分別為AE、EF、FD、AD的中點(diǎn)，先判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、”中的哪一種，并寫出證明過程．

Answer 1

分析 （1）由已知得四邊形ABCD為正方形，證明Rt△ADF≌Rt△ECD，然后推出∠ADE+∠DAF=90°；進(jìn)而得出AF⊥DE；
（2）首先根據(jù)題意證明四邊形MNPQ是菱形，然后又因?yàn)锳F⊥DE，得出四邊形MNPQ為正方形．

解答 解：（1）AF=DE，且AF⊥DE．理由如下：
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=DC=CB且∠ADC=∠DCB=90°，
在Rt△ADF和Rt△ECD中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠ADC=∠DCB}\\{CE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADF≌Rt△ECD（SAS），
∴AF=DE，
∴∠DAF=∠CDE，
∵∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠ADE+∠DAF=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AF⊥DE；

（2）結(jié)論：四邊形MNPQ是正方形．
證明：∵AM=ME，AQ=QD，
∴MQ∥DE且MQ=$\frac{1}{2}$DE，
同理可證：PN∥DE，PN=$\frac{1}{2}$DE；MN∥AF，MN=$\frac{1}{2}$AF；PQ∥AF，PQ=$\frac{1}{2}$AF；
∵AF=DE，
∴MN=NP=PQ=QM，
∴四邊形MNPQ是菱形，
又∵AF⊥DE，
∴∠MQP=90°，
∴四邊形MNPQ是正方形．

點(diǎn)評 本題考查的是中點(diǎn)四邊形，需要掌握全等三角形的判定，正方形的判定以及正方形的性質(zhì)，難度一般．