Question

14．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，O是BC的中點，D在AB上，E在AC上，若∠DOE=60°．求證：AD+AE=$\frac{1}{2}$AB．

Answer 1

分析 取AB的中點M，連接OM，AO，根據(jù)等腰三角形的性質得出∠BAO=∠CAO=60°，AO⊥BC，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質得出OM=AM=BM，求出△AOM是等邊三角形，推出AO=OM，∠AOM=60°，∠DMO=∠OAE=60°，求出∠AOE=∠MOD，根據(jù)ASA推出△AOE≌△MOD，根據(jù)全等得出AE=DM，即可得出答案．

解答 證明：如圖：
取AB的中點M，連接OM，AO，
∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠BAO=∠CAO=60°，AO⊥BC，
∴∠AOB=90°，
∴OM=AM=BM，
∵∠OAM=60°，
∴△AOM是等邊三角形，
∴AO=OM，∠AOM=60°，∠DMO=∠OAE=60°，
∵∠DOE=60°，
∴∠AOM=∠DOE，
∴都減去∠AOD得：∠AOE=∠MOD，
在△AOE和△MOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠MOD}\\{AO=MO}\\{∠EAO=∠DMO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△MOD（ASA），
∴AE=DM，
∴AE+AD=AM，
∵AM=BM=$\frac{1}{2}$AB，
∴AD+AE=$\frac{1}{2}$AB．

點評 本題考查了全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質，等邊三角形的性質和判定，直角三角形斜邊上中線性質的應用，能靈活運用定理進行推理是解此題的關鍵，注意：全等三角形的對應邊相等．