Question

19．如圖，AE是△ABC的高，D為AC上一點，AE交BD于點F，且FE=CE，BF=AC．求證：BD⊥AC．

Answer 1

分析 求出∠AEC=∠BEF=90°，根據(jù)HL證Rt△AEC≌Rt△BEF，根據(jù)全等得出∠DBC=∠EAC，根據(jù)∠BEF=90°求出∠BFE+∠DBC=90°，求出∠CAE+∠AFD=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ADF=90°，即可得出答案．

解答 證明：∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC=∠BEF=90°，
在Rt△AEC和Rt△BEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BF}\\{CE=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEC≌Rt△BEF（HL），
∴∠DBC=∠EAC，
∵∠BEF=90°，
∴∠BFE+∠DBC=90°，
∵∠AFD=∠BFE，
∴∠CAE+∠AFD=90°，
∴∠ADF=180°-90°=90°，
∴BD⊥AC．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理，垂直定義的應(yīng)用，能求出Rt△AEC≌Rt△BEF是解此題的關(guān)鍵．