Question

10．如圖，已知⊙O的直徑AB=4，點(diǎn)C在⊙O上，AC=2，動(dòng)點(diǎn)P在半圓弧$\widehat{AB}$上運(yùn)動(dòng)（不與A、B兩點(diǎn)重合），點(diǎn)P、C在直徑AB的異側(cè)，連接PB、PC，過(guò)點(diǎn)C作直線PB的垂線段CD，垂足為點(diǎn)D．
（1）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠PCD的度數(shù)變化嗎？若變化，說(shuō)明理由，若不變，求∠PCD的度數(shù)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PCD與△ABC全等；（直接在答題卡的圖1中作出點(diǎn)P的位置，保留作圖痕跡）
（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)CP⊥AB時(shí)，求∠BCD的度數(shù)和線段CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由AC=$\frac{1}{2}$AB，求得∠ABC=30°，繼而可得∠CPD=∠A=60°，求出∠PCD的度數(shù)；
（2）根據(jù)當(dāng)CP是直徑時(shí)，△PCD與△ABC全等作圖；
（3）由（1）易求得∠PCD的度數(shù)，又由垂徑定理，可求得∠ACP的度數(shù)，求出∠BCD的度數(shù)，根據(jù)垂徑定理和勾股定理求出線段CD的長(zhǎng)．

解答 解：（1）∠PCD的度數(shù)不變．
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，又AC=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠ABC=30°，
∴∠A=90°-∠ABC=60°，
∴∠CPD=∠A=60°，又CD⊥PB，
∴∠PCD=30°；
（2）如圖3：當(dāng)CP=AB，即CP為⊙O的直徑時(shí)，△PCD與△ABC全等；
（3）如圖2，∵∠A=60°，
∴∠BPC=∠A=60°，
∵CD⊥PB，
∴∠PCD=90°-∠BPC=30°，
∵CP⊥AB，AB是⊙O的直徑，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AP}$，
∴∠ACP=∠ABC=30°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACP-∠PCD═90°-30°-30°=30°，
∵∠ACB=90°，AB=4，AC=2，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵∠ACB=90°，CP⊥AB，
∴$\frac{1}{2}$×AC×BC=$\frac{1}{2}$×AB×CE，
解得，CE=$\sqrt{3}$，
∵CP⊥AB，
∴CP=2CE=2$\sqrt{3}$，又∠P=60°，
∴CD=CP×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了圓周角定理、垂徑定理以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，掌握同弧所對(duì)的圓周角相等、30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵，解答時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．