Question

5．已知AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為弧$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，BD為弦，CE⊥BD于點(diǎn)E．

（1）如圖1，求證：CE=DE；
（2）如圖2，連接OE，求∠OEB的度數(shù)；
（3）如圖3，在（2）的條件下，延長(zhǎng)CE，交直徑AB于點(diǎn)F，延長(zhǎng)E0，交⊙O于點(diǎn)G，連接BG，若CE=2，EF=3，求△OBG的面積．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接CD、OC．只要證明∠CDE=$\frac{1}{2}$∠COB=45°即可．
（2）如圖2中，連接OD，OC，只要證明△OED≌△OEC，推出∠OED=∠CEO=135°，即可解決問(wèn)題．
（3）如圖3中，過(guò)O作OM⊥BD于M，BN⊥EG于N，則∠EMO=90°，連接OC，設(shè)EM=x，則BM=DM=2+x，由EF∥OM，得$\frac{OM}{EF}$=$\frac{BM}{BE}$，列出方程即可解決．

解答 （1）證明：如圖1中，連接CD、OC，
∵點(diǎn)C是$\widehat{AB}$中點(diǎn)，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∴∠AOC=∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
∴∠D=45°，
∵CE⊥BD，
∴∠CED=90°，
∴∠D=∠DCE=45°，
∴CE=DE；
（2）證明：如圖2中，連接OD，OC，
在△OED和△OEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OD}\\{CE=DE}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴△OED≌△OEC，
∵∠CED=90°，
∴∠OED=∠CEO=135°，
∴∠OEB=45°；
（3）如圖3中，過(guò)O作OM⊥BD于M，BN⊥EG于N，則∠EMO=90°，連接OC，
∵CE=2，
∴DE=2，
設(shè)EM=x，則BM=DM=2+x，
∴BE=2x+2，
∵∠OEB=45°，則BM=DM=2+x，
∴OM=x，
∵∠OEB=45°，
∴∠CEB=∠EMO，
∴EF∥OM．
∴$\frac{OM}{BF}$=$\frac{BM}{EB}$，即$\frac{x}{3}$=$\frac{x+2}{2x+2}$，
解得x₁=2，x₂=-$\frac{3}{2}$（不合題意），
∴BM=4，OM=2，
∴OG=OB=2$\sqrt{5}$，BN=3$\sqrt{2}$，
∴S_△OBG=$\frac{1}{2}$×OG×BN=3$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、圓的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問(wèn)題．