Question

14．方程x²+2xy+3y²=81的整數(shù)解（x，y）的組數(shù)為8．

Answer 1

分析 首先將原方程變形為：（x+y）²+2y²=81，即可得x+y必須是奇數(shù)，然后設(shè)x+y=2t+1，可得新方程（2t+1）²+2y²=81，解此方程即可求得答案．

解答 解：x²+2xy+3y²=81，
方程變形得：（x+y）²+2y²=81，
∵81是奇數(shù)，2y²是偶數(shù)，
∴x+y必須是奇數(shù)，
設(shè)x+y=2t+1，
則原方程變?yōu)椋海?t+1）²+2y²=81，
它的整數(shù)解為$\left\{\begin{array}{l}{2t+1=±7}\\{y=±4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2t+1=±3}\\{y=±6}\end{array}\right.$，
則當(dāng)y=4，2t+1=7時(shí)，x=3；
當(dāng)y=4，2t+1=-7時(shí)，x=-11；
當(dāng)y=-4，2t+1=7時(shí)，x=11；
當(dāng)y=-4，2t+1=-7時(shí)，x=-3；
當(dāng)y=6，2t+1=3時(shí)，x=-3；
當(dāng)y=6，2t+1=-3時(shí)，x=-9；
當(dāng)y=-6，2t+1=3時(shí)，x=9；
當(dāng)y=-6，2t+1=-3時(shí)，x=3；
∴方程x²+2xy+3y²=81的整數(shù)解（x，y）的組數(shù)為8組．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了非一次不定方程的知識(shí)．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是將原方程變形為：（x+y）²+2y²=81，由x+y必須是奇數(shù)，然后設(shè)x+y=2t+1，從而得新方程（2t+1）²+2y²=81．