Question

2．已知如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點且AC=4，BC=8，以BC為底邊作等腰直角△BCD，邊CD交⊙O于E．
（1）求AE的長和⊙O的半徑；
（2）求證：CE=ED．

Answer 1

分析 （1）由AB為⊙O的直徑，得到∠ACB=∠AEB=90°，根據(jù)勾股定理得到AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，于是求得⊙O的半徑AO=2$\sqrt{5}$，由等腰直角三角形的性質(zhì)得到BD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=4$\sqrt{2}$，通過△ABC∽△DBE，得到$\frac{AB}{BE}=\frac{BC}{BD}$，求得BE=2$\sqrt{10}$，由勾股定理即可得到結(jié)論；
（2）由相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AC}{BC}=\frac{DE}{BD}=\frac{1}{2}$，由已知條件得到CD=BD，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠AEB=90°，
∵AC=4，BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴⊙O的半徑AO=2$\sqrt{5}$，
∵∠D=90°，CD=BD，
∴BD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=4$\sqrt{2}$，
∵∠ACB=∠D=90°，∠BAC=∠BED，
∴△ABC∽△DBE，
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{BC}{BD}$，
∴BE=2$\sqrt{10}$，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{5}）^{2}-（2\sqrt{10}）^{2}}$=2$\sqrt{10}$；

（2）∵△ABC∽△DBE，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{DE}{BD}=\frac{1}{2}$，
∵CD=BD，
∴DE=$\frac{1}{2}$CD，
∴CE=DE．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．