Question

13．如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，交y軸正半軸于C點(diǎn)，D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上，且∠PCB=∠CBD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 令y=0求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，令x=0，求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，接下來求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后再求得DB的解析式，然后由CP∥DB可求得BP的解析式，然后可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 與BD解：令y=0得：-x²+2x+3=0，解得：x₁=3，x₂=-1．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）．
∴對稱軸方程為x=1．
將x=1代入得：y=4．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）．
設(shè)BD的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)B、D的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{k+b=4}\end{array}\right.$
解得：k=-2，b=6．
令x=0得：y=3．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．
∵∠PCB=∠CBD，
∴PC∥BD或CP與BD的交點(diǎn)在BC的垂直平分線上．
①當(dāng)PC∥BD時．
∴直線PC的解析式為y=-2x+3．
令y=0得：-2x+3=0．
解得：x=$\frac{3}{2}$．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，0）．
②如圖所示：
y=-x²+2x+3
=-（x-1）²+4，
故D（1 4），
因此BC=

32+32

=

18

=3

2

，
BD=

42+22

=2

5

，CD=

12+12

=

2

，
故CD²+BC²=BD²，
因此滿足△BCD是直角三角形且∠BCD=90°，
過B點(diǎn)作BE垂直于BC，連接EC，且BE=

2

，
∵CO=OB=3，
∴∠OCB=∠CBO=45°，
故∠EBx=45°，
則E（4，1），
設(shè)直線EC的解析式為：y=kx+b，
則

b=3 4k+b=1

，
解得：

k=-0.5 b=3

．
則EC直線解析式為：y=-0.5x+3，
令y=0得：-0.5x+3=0，
解得x=6．
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，0）或（$\frac{3}{2}$，0）．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．