Question

11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°．分別以直角邊AC和斜邊AB向外作等邊△ACD、等邊△ABE．過點E，作EF⊥AB，垂足為F，連結(jié)DF．
求證：
（1）AC=EF；
（2）四邊形ADFE是平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）利用等邊三角形的性質(zhì)得出∠AEF=∠CAB，進而利用AAS求出△AEF≌△BAC，進而得出答案；
（2）根據(jù)（1）中所求結(jié)合平行線的判定方法得出AD$\stackrel{∥}{=}$EF，即可得出答案．

解答 證明：（1）∵∠BAC=30°，以直角邊AB向外作等邊△ABE，
∴∠CAB=∠CAB+∠BAE=90°，AE=AB，
∵EF⊥AB，
∴∠EAF+∠AEF=90°，
∴∠AEF=∠CAB，
在△AEF和△BAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠ACB}\\{∠AEF=∠CAB}\\{AE=AB}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BAC（AAS），
∴AC=EF；

（2）∵以直角邊AC向外作等邊△ACD，∠BAC=30°，
∴∠DAB=90°，AD=AC，
又∵EF⊥AB，
∴AD∥EF，
∵AC=EF，
∴AD=EF，
∴AD$\stackrel{∥}{=}$EF，
∴四邊形ADFE是平行四邊形．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的判定等知識，正確利用全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．