Question

8．如圖，在矩形中，BE平分∠ABC，交CD于點E，點F在邊BC上．
（1）如果FE⊥AE，那么FE和AE相等嗎？證明你的結(jié)論．
（2）如果FE=AE，那么FE與AE有怎樣的位置關(guān)系？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的定義可得∠ABE=∠CBE，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠ABE=∠BEC，然后求出∠CBE=∠BEC，根據(jù)等角對等邊可得BC=CE，根據(jù)矩形的對邊相等可得AD=BC，從而得到AD=CE，再根據(jù)同角的余角相等求出∠DAE=∠CEF，然后利用“角邊角”證明△ADE和△ECF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得FE=AE；
（2）同（1）求出AD=CE，然后利用“HL”證明Rt△ADE和Rt△ECF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠DAE=∠CEF，然后求出∠AED+∠CEF=90°，再根據(jù)平角等于180°求出∠AEF=90°，然后根據(jù)垂直的定義證明即可．

解答 證明：（1）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵矩形對邊AB∥CD，
∴∠ABE=∠BEC，
∴∠CBE=∠BEC，
∴BC=CE，
∵矩形ABCD的對邊AD=BC，
∴AD=CE，
∵FE⊥AE，
∴∠AED+∠CEF=90°，
∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠DAE=∠CEF，
在△ADE和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠CEF}\\{AD=CE}\\{∠C=∠D=90°}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ECF（ASA），
∴FE=AE；
（2）同（1）可證AD=CE，
在Rt△ADE和Rt△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{FE=AE}\\{AD=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△ECF（HL），
∴∠DAE=∠CEF，
∴∠AED+∠CEF=∠AED+∠DAE=90°，
∴∠AEF=180°-（∠AED+∠CEF）=180°-90°=90°，
∴FE⊥AE．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖確定出全等三角形是解題的關(guān)鍵．