Question

11．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為直徑的⊙O交斜邊AB于E，OD∥AB．求證：
（1）ED是⊙O的切線；
（2）BC•DE=BE•OD．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)CE，OE，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠ACE=90°，由OD∥AB，點O為AC的中點，則D點為BC的中點，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到DE=DB，則∠B=∠1，而∠B+∠A=90°，∠A=∠2，所以∠1+∠2=90°，則∠OED=90°，然后根據(jù)切線的判斷即可得到ED是⊙O的切線；
（2）證明Rt△OED∽△CEB，利用相似的性質(zhì)得OD：BC=DE：BE，然后根據(jù)比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）連結(jié)CE，OE，如圖，
∵AC為直徑，
∴∠ACE=90°，
∵OD∥AB，點O為AC的中點，
∴D點為BC的中點，
∴DE為Rt△BEC斜邊BC邊上的中線，
∴DE=DB，
∴∠B=∠1，
∵∠C=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∵OA=OE，
∴∠A=∠2，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠OED=90°，
∴OE⊥DE，
∴ED是⊙O的切線；
（2）∵OD∥AB，
∴∠1=∠3，
∵∠1=∠B，
∴∠3=∠B，
∵∠OED=∠CEB=90°，
∴Rt△OED∽△CEB，
∴OD：BC=DE：BE，
∴BC•DE=BE•OD．

點評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．