Question

17．如圖，在△ABC中，∠C=90°，點D為AB的中點，BC=3，AB=9，△DBC沿著CD翻折后，點B落到點E，那么AE的長為7．

Answer 1

分析 先由勾股定理求得AC的長，然后可求得sin∠DBC的值，然后證明∠DCB=∠DBC，由OB=CBsin∠DCB可求得OB的長，然后可得到BE的長，然后依據(jù)三角形的中線的性質(zhì)可得到AE∥CD，則△AEB為直角三角形，最后依據(jù)勾股定理求解即可．

解答 解：如圖所示：連接BE．

在Rt△ABC中，由勾股定理可知AC=$\sqrt{A{B}^{2}-C{B}^{2}}$=6$\sqrt{2}$．
∴sin∠ABC=$\frac{6\sqrt{2}}{9}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∵∠ACB=90°，D是AB的中點，
∴DC=BD=AD．
∴∠DCB=∠DBC．
∴BO=BCsin∠DCB=3×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=2$\sqrt{2}$．
由翻折的性質(zhì)可知BE⊥CD，OE=OB．
∵AD=BD，OB=OE，
∴AE∥OD，BE=4$\sqrt{2}$，
∴∠AEB=90°．
在Rt△ABE中，依據(jù)勾股定理可知AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=7．
故答案為：7．

點評 本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，證得△ABE為直角三角形是解題的關(guān)鍵．