Question

9．已知拋物線y=x²-（k+2）x+$\frac{5k+2}{4}$和直線y=（k+1）x+（k+1）²
（1）求證：無論k取何實數值，拋物線與x軸有兩個不同的交點；
（2）拋物線與x軸交于點A，B，直線與x軸交于點C，設A，B，C三點的橫坐標分別是x₁，x₂，x₃，求x₁•x₂•x₃的最大值．

Answer 1

分析 （1）令y=0得到關于x的一元二次方程，然后根據一元二次方程根的判別式進行判定即可；
（2）由韋達定理可求得${x}_{1}•{x}_{2}=\frac{5k+2}{4}$，y=0可求得：x₃=-（k+1），然后列出x₁•x₂•x₃與k的函數關系式，最后利用配方法即可求得其最大值．

解答 解：（1）△=$^{2}-4ac=[-（k+2）]^{2}-4×1×\frac{5k+2}{4}$
=k²+4k+4-5k-2
=k²-k+2
=$（k-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{7}{4}$
∴△＞0．
∴拋物線與x軸有兩個不同的交點．
（2）由韋達定理可知：${x}_{1}•{x}_{2}=\frac{5k+2}{4}$，
令直線方程y=0得：（k+1）x+（k+1）²=0，解得：x₃=-（k+1），
∴x₁•x₂•x₃=-（k+1）×$\frac{5k+2}{4}$=$-\frac{5}{4}（k+\frac{7}{10}）^{2}+\frac{9}{80}$．
當k=$-\frac{7}{10}$時，x₁•x₂•x₃有最大值，最大值為$\frac{9}{80}$．

點評 本題主要考查的是二次函數的最值和一元二次方程根的判別式、根與系數關系的應用，將函數問題轉化為方程問題是解題解題的關鍵．