Question

16．如圖，反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$與y=mx交于A，B兩點，設(shè)點A、B的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），S=|x₁y₁|，且$\frac{3}{s-1}=\frac{4}{s}$，
（1）求k的值；
（2）當(dāng)m變化時，代數(shù)式$\frac{（{m}^{2}-1）{x}_{1}{y}_{2}}{（m+1）^{2}}+\frac{2{x}_{2}{y}_{1}}{m+1}$是否為一個固定的值？若是，求出其值，若不是，請說理由；
（3）點C在y軸上，點D的坐標(biāo)是（-1，$\frac{3}{2}$），若將菱形ACOD沿x軸負(fù)方向平移m個單位，在平移過程中，若雙曲線與菱形的邊AD始終有交點，請直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到k＜0，由于$\frac{3}{s-1}=\frac{4}{s}$，于是得到s=4，k=-4；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)的圖象是關(guān)于原點O的中心對稱圖形，由于OA=OB，于是得到x₁=-x₂，y₁=-y₂，x₁y₂=x₂y₁，代入代數(shù)式即可得到結(jié)論；
（3）如圖，根據(jù)平移的性質(zhì)得到D'（-1-m，$\frac{3}{2}$），得到點D'的縱坐標(biāo)為3，代入函數(shù)y=-$\frac{4}{x}$（x＜0）即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$的圖象在第二四象限，
∴k＜0，
∵$\frac{3}{s-1}=\frac{4}{s}$，
解得：s=4，
∴k=-|x₁y₁|=-s=-4，

（2）∵反比例函數(shù)的圖象是關(guān)于原點O的中心對稱圖形，
∴OA=OB，
∴x₁=-x₂，y₁=-y₂，
∴x₁y₂=x₂y₁，
$\frac{（{m}^{2}-1）{x}_{1}{y}_{2}}{（m+1）^{2}}+\frac{2{x}_{2}{y}_{1}}{m+1}$=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}}{（m+1）^{2}}（{m}^{2}-1+2m+2）$=x₂y₁=x₂•（-$\frac{4}{{x}_{1}}$）=4，
∴代數(shù)式是否為一個固定的值4；

（3）如圖，
將菱形ACOD沿x軸負(fù)方向平移m個單位，
使得點D′落在反比例函數(shù)y=-$\frac{4}{x}$的圖象的D'處，
過點D'做x軸的垂線，垂足為F，
∵D的坐標(biāo)是（-1，$\frac{3}{2}$），
∴D'（-1-m，$\frac{3}{2}$），
∴點D'的縱坐標(biāo)為3，
∵D'落在函數(shù)y=-$\frac{4}{x}$（x＜0）的圖象上，
∴$\frac{3}{2}$=-$\frac{4}{x}$，
∴x=-$\frac{8}{3}$，
∴-1-m=-$\frac{8}{3}$，
∴m=$\frac{5}{3}$，
∴m的取值范圍：0≤m≤$\frac{5}{3}$．

點評 此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，菱形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是求出反比例函數(shù)解析式，難點出是判斷菱形ACOD的邊AD始終和雙曲線有交點的分界點．