Question

1．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，AF是⊙O的切線，若AE=3，AF=CD，則FC是⊙O的切線．
（1）求證：四邊形AFCD是菱形；
（2）求AF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用切線的性質(zhì)得AB⊥AF，則AF∥CD，CE=DE，所以AC=AD，再利用AF=CD可判斷四邊形AFCD為平行四邊形，所以CF∥AD，連接OC，OC的反向延長(zhǎng)線交AD于M，如圖，利用CF為切線得到OC⊥CF，所以AM=DM，則CA=CD，然后利用CD=DA可判斷四邊形AFCD是菱形；
（2）先判定△ACD為等邊三角形得到∠ACD=60°，在Rt△ACE中，易得CE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AE=$\sqrt{3}$，所以CD=2CE=2$\sqrt{3}$，從而得到AF的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：∵AF是⊙O的切線，
∴AB⊥AF，
∵弦CD⊥AB于點(diǎn)E，
∴AF∥CD，CE=DE，
∴AC=AD，
而AF=CD，
∴四邊形AFCD為平行四邊形，
∴CF∥AD，
連接OC，OC的反向延長(zhǎng)線交AD于M，如圖，
∵CF為切線，
∴OC⊥CF，
∴OC⊥AD，
∴AM=DM，
∴CM垂直平分AD，
∴CA=CD，
∴CD=DA，
∴四邊形AFCD是菱形；
（2）解：∵AC=AD=CD，
∴△ACD為等邊三角形，
∴∠ACD=60°，
在Rt△ACE中，CE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×3=$\sqrt{3}$，
∴CD=2CE=2$\sqrt{3}$，
∴AF=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了菱形的判定和解直角三角形．