Question

12．如圖，直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$分別與x軸、y軸交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，∠ACB=90°，拋物線y=ax²+bx+$\sqrt{3}$經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）點(diǎn)M是直線BC上方拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BC于點(diǎn)H，作MD∥y軸交BC于點(diǎn)D，求△DMH周長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

分析 （1）由直線解析式可求得B、C坐標(biāo)，在Rt△BOC中由三角函數(shù)定義可求得∠OCB=60°，則在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函數(shù)的定義可求得OA，則可求得A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（3）由平行線的性質(zhì)可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函數(shù)的定義可得到DH、MH與DM的關(guān)系，可設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，則可表示出DM的長(zhǎng)，從而可表示出△DMH的周長(zhǎng)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值．

解答 解：
（1）∵直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$分別與x軸、y軸交于B、C兩點(diǎn)，
∴B（3，0），C（0，$\sqrt{3}$），
∴OB=3，OC=$\sqrt{3}$，
∴tan∠BCO=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
∴∠BCO=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACO=30°，
∴$\frac{AO}{CO}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{AO}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得AO=1，
∴A（-1，0）；

（2）∵拋物線y=ax²+bx+$\sqrt{3}$經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+\sqrt{3}=0}\\{9a+3b+\sqrt{3}=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；

（3）∵M(jìn)D∥y軸，MH⊥BC，
∴∠MDH=∠BCO=60°，則∠DMH=30°，
∴DH=$\frac{1}{2}$DM，MH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DM，
∴△DMH的周長(zhǎng)=DM+DH+MH=DM+$\frac{1}{2}$DM+$\frac{\sqrt{3}}{2}$DM=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$DM，
∴當(dāng)DM有最大值時(shí)，其周長(zhǎng)有最大值，
∵點(diǎn)M是直線BC上方拋物線上的一點(diǎn)，
∴可設(shè)M（t，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t+$\sqrt{3}$），則D（t，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t+$\sqrt{3}$），
∴DM=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t+$\sqrt{3}$），則D（t，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t+$\sqrt{3}$），
∴DM=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t+$\sqrt{3}$-（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t+$\sqrt{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t²+$\sqrt{3}$t=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時(shí)，DM有最大值，最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
此時(shí)$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$DM=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$×$\frac{3\sqrt{3}}{4}$=$\frac{9\sqrt{3}+9}{8}$，
即△DMH周長(zhǎng)的最大值為$\frac{9\sqrt{3}+9}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、三角函數(shù)的定義、二次函數(shù)的性質(zhì)、方程思想等知識(shí)．在（1）中注意函數(shù)圖象與坐標(biāo)的交點(diǎn)的求法，在（2）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（3）中找到DH、MH與DM的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．