Question

18．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B分別在x、y軸的正半軸上，OA=3，∠ABO=30°，以A點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，把△AOB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△ADC，旋轉(zhuǎn)角記為α（0°＜α＜180°）．
（1）求B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)（圖1），求直線CD的解析式；
（3）若旋轉(zhuǎn)后滿足∠AOD=∠ABO，求：α的度數(shù)以及此時(shí)直線CD的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形中，30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，求出AB，再用勾股定理求出OB即可；
（2）先判斷出∠ADC=90°，再用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；
（3）先求出∠BAD=60°，進(jìn)而判斷出點(diǎn)C落在x軸上，即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A在x軸正半軸上，且OA=3，
∴A（0，3），
在Rt△AOB中，∠ABO=30°，OA=3，
∴AB=6，OB=3$\sqrt{3}$，
∵B在y軸正半軸上，
∴B（0，3$\sqrt{3}$）；

（2）如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，
由旋轉(zhuǎn)知，∠ADC=∠AOB=90°，AD=OA=3，
過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于E，
∵∠ABO=30°，
∴∠OAB=60°，
∴∠ADE=30°，
在Rt△ADE中，AE=$\frac{3}{2}$，DE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴OE=OA-AE=3-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴D（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
∵A（3，0），B（0，3$\sqrt{3}$），
∴直線AB的解析式為y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$，
∵CD⊥AB，
∴直線CD的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；

（3）如圖2，
連接OD，∵∠ABO=30°，
∴∠AOD=∠ABO=30°．∠OAB=90°-30°=60°，
由旋轉(zhuǎn)知，∠CAD=∠OAB=60°，OA=AD，
∴∠ODA=∠AOD=30°，
∴∠OAD=120°，
∴∠CAD=180°-120°=60°，
∴點(diǎn)C在x軸得正半軸上，
∵OA=3，AC=AB=6，
∴OC=OA+AC=9，
∴C（9，0），過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于E，
在Rt△ADE中，AD=OA=3，∠ADE=90°-∠DAE=30°，
∴AE=$\frac{3}{2}$，DE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴OE=OA+AE=3+$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{2}$，
∴D（$\frac{9}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9k+b=0}\\{\frac{9}{2}k+b=\frac{3\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=3\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直線CD的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了含30角的直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，解（1）的關(guān)鍵是求出OB，解（2）的關(guān)鍵是求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，解（3）的關(guān)鍵是判斷出點(diǎn)C落在x軸上，是一道中等難度的中考�？碱}．