Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象交于一、三象限內(nèi)的A、B兩點(diǎn)，與x軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，m），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（n，-2），tan∠BOC=$\frac{1}{2}$．
（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式．
（2）求△BOC的面積．
（3）P是x軸上的點(diǎn)，且△PAC的面積與△BOC的面積相等，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）過(guò)B作x軸的垂線，垂足為D，求出BD=2，根據(jù)tan∠BOC=$\frac{1}{2}$求出OD=4，得出B的坐標(biāo)，把B的坐標(biāo)代入y=$\frac{k}{x}$即可求出反比例函數(shù)的解析式，求出A的坐標(biāo)，把A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式，即可求出解析式；
（2）求出CO=2，根據(jù)三角形面積公式求出即可；
（3）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為P（a，0）根據(jù)S_△PAC=S_△BOC得出$\frac{1}{2}$PC×4=2，求出PC即可．

解答 解：（1）過(guò)B作x軸的垂線，垂足為D，
∵B的坐標(biāo)為（n，-2），
∴BD=2，
∵tan∠BOC=$\frac{1}{2}$，
∴OD=4，
∴B的坐標(biāo)為（-4，-2）
把B（-4，-2）代入y=$\frac{k}{x}$得：k=8，
∴反比例函數(shù)為y=$\frac{8}{x}$，
把A（2，m）代入y=$\frac{8}{x}$得：m=4，
∴A（2，4），
把A（2，4）和B（-4，-2）代入y=ax+b得：$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=4}\\{-4a+b=-2}\end{array}\right.$
解得：a=1，b=2，
∴一次函數(shù)的解析式為：y=x+2；

（2）在y=x+2中，令y=0，得x=-2，
∴CO=2，
∴S_△BOC=$\frac{1}{2}$CO•BD=$\frac{1}{2}$×2×2=2；

（3）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為P（a，0）
則由S_△PAC=S_△BOC得：$\frac{1}{2}$PC×4=2，
∴PC=1，
即||a+2|=1，
解得：a=-3或a=-1，
即P的坐標(biāo)為（-3，0）或（-1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形的面積，函數(shù)的圖象的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，難度適中．