Question

18．（1）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=2x-6與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C在x軸上，若S_△ABC=2S_△AOB，試求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖2，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（15，6），直線y=kx-2恰好將矩形OABC分為面積相等的兩部分，試求k的值；
（3）如圖3，直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，如果在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)P（a，$\frac{1}{2}$），且△ABP的面積與△ABC的面積相等，求a的值

Answer 1

分析 （1）先求出A、B的坐標(biāo)，得出OA=3，OB=6，由S_△ABC=2S_△AOB ，得出AC=2OA=6；①當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的右邊時(shí)，得出OC，即可得出點(diǎn)C坐標(biāo)；
②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的左邊時(shí)，求出OC，即可得出點(diǎn)C坐標(biāo)；
（2）由直線解析式得出E（$\frac{2}{k}$，0），D（$\frac{8}{k}$，0），由題意得出梯形OEDC的面積=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{k}+\frac{8}{k}$）×6=$\frac{1}{2}$×15×6，即可求出k；
（3）過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線，交CA的延長(zhǎng)線于D，交x軸于M，作PE⊥AB于E，先證出四邊形ADPE是矩形，得出AD=PE，求出A、B的坐標(biāo)，得出OA、OB，由勾股定理求出AB，求出△ABC的面積，由△ABP的面積與△ABC的面積相等，求出PE，得出AD、AM、OM，求出M的坐標(biāo)，再求出直線PD的解析式，把點(diǎn)P（a，$\frac{1}{2}$）代入，即可求出a值．

解答 解：（1）∵y=2x-6，當(dāng)y=0時(shí)，x=3；當(dāng)x=0時(shí)，y=-6；
∴A（3，0），B（0，-6），
∴OA=3，OB=6，
∵S_△ABC=2S_△AOB ，
∴$\frac{1}{2}$AC•OB=2×$\frac{1}{2}$×OA•OB，
∴AC=2OA=6；
①當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的右邊時(shí)，OC=3+6=9，
∴C（9，0）；
②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的左邊時(shí)，OC=6-3=3，
∴C（-3，0）；
綜上所述：點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（9，0），或（-3，0）；
（2）∵y=kx-2，當(dāng)y=0時(shí)，x=$\frac{2}{k}$；當(dāng)y=6時(shí)，x=$\frac{8}{k}$；
∴E（$\frac{2}{k}$，0），D（$\frac{8}{k}$，0），
∵直線y=kx-2恰好將矩形OABC分為面積相等的兩部分，
∴梯形OEDC的面積=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{k}+\frac{8}{k}$）×6=$\frac{1}{2}$×15×6，
解得：k=$\frac{2}{3}$；
（3）過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線，交CA的延長(zhǎng)線于D，交x軸于M，作PE⊥AB于E，如圖所示：
則∠AMD=∠BAO，PE∥AD，
∴四邊形ADPE是矩形，
∴AD=PE，
∵直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，當(dāng)y=0時(shí)，x=$\sqrt{3}$，當(dāng)x=0時(shí)，y=1，
∴A（$\sqrt{3}$，0），B（0，1），
∴OA=$\sqrt{3}$，OB=1，
∴AB=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2，∠BAO=30°，
∴∠AMD=30°，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴AC=AB=2，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
∵△ABP的面積與△ABC的面積相等，
∴△ABP的面積=$\frac{1}{2}$AB•PE=$\frac{1}{2}$×2×PE=2，
∴PE=2，
∴AD=2，∴AM=2AD=4，
∴OM=4-$\sqrt{3}$，
∴M（$\sqrt{3}$-4，0），
設(shè)直線PD的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，
把點(diǎn)M（$\sqrt{3}$-4，0）代入得：b=1-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴直線PD的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
把點(diǎn)P（a，$\frac{1}{2}$）代入得：a=-4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一次函數(shù)綜合題目，考查了圖形與坐標(biāo)性質(zhì)、一次函數(shù)解析式的求法、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形和梯形面積的計(jì)算等知識(shí)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，（1）中，需要進(jìn)行分類討論，特別是（3）中，需要通過(guò)作輔助線，根據(jù)面積關(guān)系確定點(diǎn)的坐標(biāo)和一次函數(shù)解析式才能得出結(jié)果．