Question

2．小明拿兩個(gè)大小不等直角三角板作拼圖，如圖①小三角板的斜邊與大三角板直角邊正好重合，已知：AD=1，∠B=∠ACD=30°．
（1）AB的長(zhǎng)4；四邊形ABCD的面積=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$（直接填空）；
（2）如圖2，若小明將小三角板ACD沿著射線AB方向平移，設(shè)平移的距離為m（平移距離指點(diǎn)A沿AB方向鎖經(jīng)過(guò)的線段長(zhǎng)度），當(dāng)點(diǎn)D平移到線段大三角板ABC的邊上時(shí)，求出相應(yīng)的m的值；
（3）如圖3，小明將小三角板ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α（0°＜α＜180°），記旋轉(zhuǎn)中的△ACD為△AC′D′，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，設(shè)C′D′所在的直線與直線BC交于點(diǎn)P，與直線AB交于點(diǎn)Q，是否存在這樣的P、Q兩點(diǎn)，使△BPQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接求出此時(shí)D′Q的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

Answer 1

分析 （1）根據(jù)30度的直角三角形的性質(zhì)，求出AC、CD、AB、BC即可解決問(wèn)題；
（2）如圖2中，作DE∥AB交BC于E，交AC于F．求出DF、DE即可解決問(wèn)題；
（3）分三種情形求解①如圖3中，當(dāng)BP=BQ時(shí)，②如圖4中，當(dāng)BQ=PQ時(shí)，③如圖5中，當(dāng)BP=BQ時(shí)，分別求解即可；

解答 解：（1）如圖1中，

在Rt△ACD中，∵AD=1，∠ACD=30°，
∴AC=2CD=2，CD=$\sqrt{3}$AD=$\sqrt{3}$，
在Rt△ACB中，∵∠B=30°，AC=2，
∴AB=2AC=4，BC=$\sqrt{3}$AC=2$\sqrt{3}$，
∴四邊形ABCD的面積=S_△ACD+S_△ABC=$\frac{1}{2}$$•1•\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$•2•2$\sqrt{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．
故答案為4，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．

（2）如圖2中，作DE∥AB交BC于E，交AC于F．

∴∠DFA=∠BAC=60°=∠DAF，
∴△ADF是等邊三角形，
∴AF=AD=DF=CF=1，∵FE∥AB，
∴CE=EB，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴當(dāng)點(diǎn)D平移到線段大三角板ABC的邊上時(shí)，相應(yīng)的m的值為1或3．

（3）①如圖3中，當(dāng)BP=BQ時(shí)，在AD′上取一點(diǎn)E使得AE=EQ．

∵∠PBQ=30°，
∴∠AQD′=75°，∵∠AD′Q=90°，
∴∠EAQ=∠EQA=15°
∴∠QED′=30°，設(shè)D′Q=x，則AE=EQ=2x，ED′=$\sqrt{3}$x，
∴2x+$\sqrt{3}$x=1，
∴x=2-$\sqrt{3}$，
∴D′Q=2-$\sqrt{3}$．

②如圖4中，當(dāng)BQ=PQ時(shí)，易知∠AQD′=60°，D′Q=AD•tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．


③如圖5中，當(dāng)BP=BQ時(shí)，易知∠AQC′=∠C′AQ=15°，∴AC′=C′Q，∴D′Q=D′C+C′Q′=$\sqrt{3}$+2．

綜上所述，當(dāng)△PBQ是等腰三角形時(shí)，D′Q的值為2-$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$或$\sqrt{3}$+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、旋轉(zhuǎn)變換、30度的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．