Question

2．等邊三角形ABC，BD=CE，F(xiàn)A=FE，∠DGH=60°，BG＞AG，求證：GF=HF．

Answer 1

分析 AB上截取AG′=CE=BD，過E作EH′∥AB交AC于H′，由△ABC是等邊三角形，得到△ECH′是等邊三角形，推出四邊形AG′EH′為平行四邊形，得到點F與F′重合，∵根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到G′D=DH′=G′H′，推出△G′DH′為等邊三角形，得到∠DG′H′=∠DG′F=60°，證得G與G′重合，同理H′與H重合，于是得到結(jié)論．

解答 證明：在AB上截取AG′=CE=BD，過E作EH′∥AB交AC于H′，
∵△ABC是等邊三角形，
∴△ECH′是等邊三角形，
∴EC=EH′=H′C，
連接G′H′，G′E，EH′，其中G′H′與AE交于F′，
∵AG′∥EH′，AG′=EH′，∴四
邊形AG′EH′為平行四邊形，
∴AF′=EF′，G′F′=F′H′，
∵AF=EF，
∴點F與F′重合，
∵AG′=CH′=EC=BD，
∴BG′=AH′=CD，
在△AG′H′與△CH′D與△BDG′中，$\left\{\begin{array}{l}{BG′=AH′=CD}\\{∠G′AH′=∠H′CD=∠DBG′=60°}\\{BD=AG′=CH′}\end{array}\right.$，
∴△AG′H′≌△CH′D≌△BDG′，
∴G′D=DH′=G′H′，
∴△G′DH′為等邊三角形，
∴∠DG′H′=∠DG′F=60°，
而在線段AB上找一點G′，使∠DG′F=60°只有兩處，
即AG′＞BG′，AG′＜BG′，
∵BD=CE=AG′，
∴BE=BG′＞EC，
即BG′＞AG′，
∵BG＞AG，∠DGF=60°，
∴G與G′重合，
同理H′與H重合，
∴GH=HF．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．