Question

12．如圖所示，在一條筆直的公路旁有A，B兩個(gè)公交站臺(tái)相距800米，居民區(qū)C位于A站臺(tái)的北偏東45°方向，位于B站臺(tái)的北偏東15°方向．
（1）求居民區(qū)C到站臺(tái)A的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）
（2）為方便C居民區(qū)乘車，準(zhǔn)備在公路旁再修建一個(gè)距C區(qū)最近的站臺(tái)D，不考慮其他因素，求CD的長(zhǎng)度．（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

分析 （1）作BM⊥AC，垂足為M．先解直角三角形ABM，利用已知角∠MAB的正弦值，以及AB的長(zhǎng)，可求出AM、BM．再解直角三角形BCM中，求出CM，那么根據(jù)AC=AM+CM即可求解；
（2）過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，由△ACD是等腰直角三角形可得CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，將（1）中所求AC的值代入計(jì)算即可．

解答 解：（1）作BM⊥AC，垂足為M．
在直角三角形ABM中，∵∠AMB=90°，∠BAM=45°，AB=800米，
∴AM=BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=400$\sqrt{2}$米，
在Rt△BMC中，∵∠CMB=90°，∠MBC=45°+15°=60°，
∴CM=$\sqrt{3}$BM=400$\sqrt{6}$米，
∴AC=AM+CM=（400$\sqrt{2}$+400$\sqrt{6}$）米；

（2）如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，
在直角三角形ACD中，
∵∠ADC=90°，∠CAD=45°，AC=（400$\sqrt{2}$+400$\sqrt{6}$）米，
∴CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=（400+400$\sqrt{3}$）米．

點(diǎn)評(píng) 本題考查解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，難度適中，解一般三角形，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．