Question

11．將一塊直角三角板DEF放置在銳角△ABC上，使得該三角板的兩條直角邊DE、DF恰好分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C．

（1）如圖①，若∠A=40°時(shí)，點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，則∠ABC+∠ACB=140度，∠DBC+∠DCB=90度，∠ABD+∠ACD=50度；
（2）如圖②，改變直角三角板DEF的位置，使點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，請(qǐng)?zhí)骄俊螦BD+∠ACD與∠A之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并驗(yàn)證你的結(jié)論．
（3）如圖③，改變直角三角板DEF的位置，使點(diǎn)D在△ABC外，且在AB邊的左側(cè)，直接寫(xiě)出∠ABD、∠ACD、∠A三者之間存在的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，∠DBC+∠DCB=180°-∠DBC=90°，進(jìn)而可求出∠ABD+∠ACD的度數(shù)；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定義有90°+（∠ABD+∠ACD）+∠A=180°，則∠ABD+∠ACD=90°-∠A．
（3）由（1）（2）的解題思路可得：∠ACD-∠ABD=90°-∠A．

解答 解：（1）在△ABC中，∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，
在△DBC中，∵∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°，
∴∠ABD+∠ACD=140°-90°=50°；
故答案為：140；90；50．                             
（2）∠ABD+∠ACD與∠A之間的數(shù)量關(guān)系為：∠ABD+∠ACD=90°-∠A．證明如下：
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A．             
在△DBC中，∠DBC+∠DCB=90°．                
∴∠ABC+∠ACB-（∠DBC+∠DCB）=180°-∠A-90°．
∴∠ABD+∠ACD=90°-∠A．                         
（3）∠ACD-∠ABD=90°-∠A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，實(shí)際上證明了三角形的外角和是360°，解答的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系．