Question

16．如圖，AC⊥BC，垂足為C，BC=4，AC=3，⊙O與直線AC、BC、AB相切于點D、E、F，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 根據AC、BA、BC與⊙O相切于點D、F、E；由勾股定理可得：BF=BE，AF=AD，CD=CE；可用DC分別表示出BE、BF的長，根據BF=BE，得出CD的表達式；連接OD、OE；易證得四邊形ODCE是正方形，即OE=OD=CD，由此可求出⊙O的半徑．

解答 解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵BC=4，AC=3，
∴AB=5，
連接OD、OE；
∵AC、BE是⊙O的切線，
∴∠ODC=∠OEC=∠DCE=90°；
∴四邊形ODCE是矩形；
∵OD=OE，
∴矩形ODCE是正方形；
即OE=OD=CD；
設CD=CE=x，則AD=AF=3-x；
連接OB，OF，
由勾股定理得：BF²=OB²-OF²，BE²=OB²-OE²，
∵OB=OB，OF=OE，
∴BF=BE，
則BA+AF=BC+CE，5+3-x=4+x，即x=2；
故⊙O的半徑為2．

點評 本題考查了切線的性質，勾股定理，正方形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．