Question

4．如圖，△ABC中，AB=AC，且AB為⊙O的直徑，⊙O交BC于點D，過D點作DE⊥AC于E
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若BC=8，AB=5，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，只要證明OD⊥DE即可．
（2）根據(jù)圓周角定理求得∠ADB=90°，根據(jù)（1）可知OD是中位線，得出CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=4，然后根據(jù)勾股定理求得AD，最后根據(jù)S_△ADC=$\frac{1}{2}$CD•AD=$\frac{1}{2}$AC•DE即可求得DE的長．

解答 （1）證明：連接OD；
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠C=∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠ODE=∠DEC；
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠ODE=90°，
即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線．
（2）解：連接AD，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∵OD∥AC，OA=OB，
∴CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=4，
∵AC=A=5，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=3，
∵S_△ADC=$\frac{1}{2}$CD•AD=$\frac{1}{2}$AC•DE，
∴DE=$\frac{CD•AD}{AC}$=$\frac{4×3}{5}$=$\frac{12}{5}$．

點評 本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可；也考查了圓周角定理和勾股定理以及三角形的面積．