Question

12．在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于點D，E為AB的中點，AF⊥CE交CE的延長線于點F，連結DF，求證：四邊形AFDC是等腰梯形．

Answer 1

分析 先證明A、C、D、F四點共圓，根據圓周角定理得出∠1=∠2，∠3=∠4，再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出CE=$\frac{1}{2}$AB=AE，證出∠2=∠5，得出AC∥DF，證出四邊形AFDC是梯形，再證明∠FAC=∠DCA，即可證出結論．

解答 證明：如圖所示：
∵CD⊥AB，AF⊥CE，
∴∠AFC=∠ADC=90°，
又∵AC為△AFC和△ADC的公共斜邊，
∴A、C、D、F四點共圓，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠C=90°，E為AB的中點，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=AE，
∴∠1=∠5，
∴∠2=∠5，
∴AC∥DF，
又∵AC≠DF，
∴四邊形AFDC是梯形，
∵∠1+∠4=∠5+∠3，
即∠FAC=∠DCA，
∴四邊形AFDC是等腰梯形．

點評 本題考查了等腰梯形的判定、四點共圓、平行線的判定、圓周角定理；通過證明四點共圓得出同弧所對圓周角相等是解決問題的關鍵．