Question

18．已知拋物線y=ax²+bx-8（a≠0）經(jīng)過(guò)A（-2，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線y=ax²+bx-8（a≠0）的解析式，并求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求∠APB的正弦值；
（3）直線y=kx+2與y軸交于點(diǎn)N，與直線AC的交點(diǎn)為M，當(dāng)△MNC與△AOC相似時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線y=ax²+bx-8（a≠0）經(jīng)過(guò)A（-2，0），B（4，0）兩點(diǎn)，列出a和b的二元一次方程組，求出a和b的值即可；
（2）設(shè)對(duì)稱軸直線x=1與x軸交于點(diǎn)D，過(guò)A作AH⊥BP，垂足為H，先求出AB、PD、AP和BP的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AH的長(zhǎng)，即可求出sin∠APB的值；
（3）△MNC與△AOC相似時(shí)，分①∠MNC=∠AOC=90°和②∠NMC=∠AOC=90°，利用相似三角形的性質(zhì)以及全等三角形的知識(shí)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-8（a≠0）經(jīng)過(guò)A（-2，0），B（4，0）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=4a-2b-8}\\{0=16a+4b-8}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²-2x-8，
∵y=x²-2x-8=（x-1）2-9，
∴頂點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，-9）；

（2）設(shè)對(duì)稱軸直線x=1與x軸交于點(diǎn)D，過(guò)A作AH⊥BP，垂足為H，如圖1，
∵A（-2，0），B（4，0），P（1，-9），
∴AB=6，PD=9，AP=BP=3$\sqrt{10}$，
∵$\frac{1}{2}$AB×PD=$\frac{1}{2}$PB×AH，
∴AH=$\frac{9}{5}\sqrt{10}$，
在Rt△APH中，
∴sin∠APB=$\frac{AH}{AP}$=$\frac{3}{5}$；

（3）∵∠ACO=∠MCN，
∴△MNC與△AOC相似時(shí)，
①∠MNC=∠AOC=90°，
∴$\frac{MN}{AO}=\frac{NC}{OC}$，
∵AO=2，OC=8，NC=10，
∴MN=$\frac{5}{2}$，
直線直線AC的解析式是：y=-4x-8，
設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（a，-4a-8），
∵M(jìn)N=$\frac{5}{2}$，
∴a=-$\frac{5}{2}$，
∴M（-$\frac{5}{2}$，2），
②∠NMC=∠AOC=90°，
設(shè)MN與x軸交于點(diǎn)E，
∵$\left\{\begin{array}{l}{ON=OA=2}\\{∠EON=∠AOC=90°}\\{∠NEO=∠ACO}\end{array}\right.$，
∴△ENO≌△AOC（AAS），
∴OE=OC=8，
∴E（-8，0），
∵A（-2，0），C（0，-8）
∴直線MN的解析式是：y=$\frac{1}{4}$x+2，
直線AC的解析式是：y=-4x-8，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}x+2}\\{y=-4x-8}\end{array}\right.$
∴M（-$\frac{40}{17}$，$\frac{24}{17}$），
綜上M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-$\frac{5}{2}$，2）或（-$\frac{40}{17}$，$\frac{24}{17}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)綜合題的知識(shí)，此題涉及到待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角形函數(shù)值的定義，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)，此題還需要熟練運(yùn)用分類思想解決問(wèn)題，此題有一定的難度．