Question

15．如圖，直線m：y=$\frac{4}$x+b（b＞0）與x軸交于A點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，過C點(diǎn)的另一直線n交x軸正半軸于B點(diǎn)，且滿足OA=2OB
①若∠ACB=90°，求直線n的解斬式；
②若∠ACB=45°，求b的值；
③若直線m上存在一點(diǎn)M，過M作MN∥x軸交直線n于點(diǎn)N點(diǎn)，直線m上存在另一點(diǎn)P．使得以M、O、N、P為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，求b的值（請(qǐng)直接寫答案）．

Answer 1

分析 根據(jù)直線m的解析式求出點(diǎn)C、A的坐標(biāo)，再根據(jù)OA、OB的關(guān)系可找出點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出AB、AC、BC的距離，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線n的解析式．
①在Rt△ACB中，利用勾股定理即可得出關(guān)于b的一元二次方程，解方程即可求出b值，再將b的值代入直線n的解析式中即可；
②過點(diǎn)B作BD⊥直線m于點(diǎn)D，在Rt△BCD中求出BD的長(zhǎng)度，根據(jù)面積法即可得出關(guān)于b的一元四次方程，解方程即可得出b²值，結(jié)合①結(jié)論確定b²值，開方即可得出結(jié)論；
③過點(diǎn)O作OM⊥直線l于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN∥x軸交直線n于點(diǎn)N，連接ON，過點(diǎn)N作NP⊥直線m于點(diǎn)P，根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得出∠MON=90°，再通過角的計(jì)算即可證出△OMN∽△OCA，結(jié)合勾股定理以及相似三角形的性質(zhì)即可得出關(guān)于x、b的二元多次方程組，根據(jù)方程組中兩方程的特點(diǎn)即可得出關(guān)于b的分式方程，解方程即可得出結(jié)論．

解答 解：令y=$\frac{4}$x+b中x=0，則y=b，
∴C（0，b）；
令y=$\frac{4}$x+b中y=0，則x=-4，
∴A（-4，0）．
∵OA=2OB，且點(diǎn)B在x軸正半軸上，
∴B（2，0）．
∴AB=2-（-4）=6，AC=$\sqrt{^{2}+（-4）^{2}}$，BC=$\sqrt{^{2}+{2}^{2}}$．
設(shè)直線n的解析式為y=kx+b（k≠0），
將點(diǎn)B（2，0）代入y=kx+b中，
得：0=2k+b，解得：k=-$\frac{2}$，
∴直線n的解析式為y=-$\frac{2}$x+b．
①在△ACB中，∠ACB=90°，
∴AB²=AC²+BC²，即6²=b²+（-4）²+b²+2²，
解得：b=2$\sqrt{2}$或b=-2$\sqrt{2}$（舍去），
∴直線n的解析式為y=-$\sqrt{2}$x+2$\sqrt{2}$．
②過點(diǎn)B作BD⊥直線m于點(diǎn)D，如圖3所示．
在△BCD中，∠BDC=90°，∠BCD=45°，
∴BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{^{2}+{2}^{2}}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$AC•BD，即6b=$\sqrt{^{2}+（-4）^{2}}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{^{2}+{2}^{2}}$，
解得：b²=26+6$\sqrt{17}$或b²=26-6$\sqrt{17}$，
∵∠BCD=45°，
∴b＞2$\sqrt{2}$，
∴b²=26+6$\sqrt{17}$，
∴b=$\sqrt{17}$+3或b=-$\sqrt{17}$-3（舍去）．
故b的值為$\sqrt{17}$+3．
③過點(diǎn)O作OM⊥直線l于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN∥x軸交直線n于點(diǎn)N，連接ON，過點(diǎn)N作NP⊥直線m于點(diǎn)P，如圖所示．
∵四邊形MONP為矩形，
∴∠MON=90°．
設(shè)點(diǎn)M（x，$\frac{4}$x+b），則N（-$\frac{x}{2}$，$\frac{4}$x+b），
∴MN=-$\frac{x}{2}$-x=-$\frac{3}{2}$x，OM=$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{4}x+b）^{2}}$，ON=$\sqrt{（-\frac{x}{2}）^{2}+（\frac{4}x+b）^{2}}$．
在Rt△MON中，∠MON=90°，
∴MN²=OM²+ON²，即x²=2$（\frac{4}x+b）^{2}$（i）；
∵M(jìn)N∥x軸，
∴∠CMN=∠A，
OM⊥直線m于點(diǎn)M，
∴∠OMC=90°，
∵∠A+∠OCA=90°，∠OMN+∠CMN=90°，
∴∠OMN=∠OCA．
∵∠MON=∠COA=90°，
∴△OMN∽△OCA，
∴$\frac{ON}{OA}=\frac{OM}{OC}$，即（16-b²）$（\frac{4}x+b）^{2}$=$\frac{^{2}}{4}{x}^{2}$-16x²（ii）．
聯(lián)立（i）（ii）成方程組，$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=2（\frac{4}x+b）^{2}}\\{（16-^{2}）（\frac{4}x+b）^{2}=\frac{^{2}}{4}{x}^{2}-16{x}^{2}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{\frac{^{2}}{4}-16}{16-^{2}}=\frac{1}{2}$，
解得：b=4$\sqrt{2}$或b=-4$\sqrt{2}$（舍去）．
經(jīng)檢驗(yàn)b=4$\sqrt{2}$是方程$\frac{\frac{^{2}}{4}-16}{16-^{2}}=\frac{1}{2}$的解．
故：當(dāng)直線m上存在一點(diǎn)M，過M作MN∥x軸交直線n于點(diǎn)N點(diǎn)，直線m上存在另一點(diǎn)P，使得以M、O、N、P為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，b的值為4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積以及矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：①利用勾股定理找出關(guān)于b的一元二次方程；②根據(jù)三角形的面積找出關(guān)于b的一元四次方程；③找出關(guān)于b的分式方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，利用勾股定理（或相似三角形的性質(zhì)）找出方程是關(guān)鍵．