Question

17．已知：如圖，O是四邊形ABCD的對角線BD的中點(diǎn)，AB∥CD．
（1）求證：△AOB≌△COD；
（2）若AC=10，BD=24，AB=13，則四邊形ABCD是什么四邊形？試說明理由．

Answer 1

分析 （1）由AB∥CD，利用平行線的性質(zhì)可得∠ABD=∠CDB，再由BO=DO，∠AOB=∠COD，利用ASA可證得結(jié)論；
（2）利用勾股定理逆定理可得△ABO為直角三角形，即AC⊥BD，又AO=CO，BO=DO，易得四邊形ABCD是正方形．

解答 （1）證明：∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∵O是四邊形ABCD的對角線BD的中點(diǎn)，
∴BO=DO，
在△AOB與△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABO=∠CDO}\\{BO=DO}\\{∠AOB=∠COD}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△COD（ASA）；

（2）解：四邊形ABCD是正方形；
∵△AOB≌△COD，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AC=10，BD=24，
∴AO=CO=5，BO=DO=12，
在△AOB中，
AO²+BO²=AB²，
∴△AOB為直角三角形，
∴AO⊥BO，
∴四邊形ABCD是正方形．

點(diǎn)評 本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)及判定定理和勾股定理逆定理，綜合運(yùn)用各定理是解答此題的關(guān)鍵．