Question

2．如圖，⊙O的直徑AB=4，AC是弦，沿AC折疊劣弧$\widehat{AB}$，記折疊后的劣弧為$\widehat{AmC}$，當$\widehat{AmC}$經(jīng)過圓心O時，圖中陰影部分的面積為$\sqrt{3}$；當$\widehat{AmC}$與直徑AB交于點D時，設(shè)AC=x，BD=y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=-$\frac{1}{2}$x²+8．

Answer 1

分析 如圖1，作半徑OE⊥AC于F，如圖1，根據(jù)折疊的性質(zhì)得OF=$\frac{1}{2}$OE=1，由OE⊥AC，根據(jù)垂徑定理得AF=CF，再在Rt△OAF中，利用勾股定理計算出AF=$\sqrt{3}$，所以AC=2AF=2$\sqrt{3}$，然后根據(jù)扇形和三角形的面積公式計算即可；如圖2，設(shè)弧AMC所在圓的圓心為P，作PH⊥AB于H，連結(jié)OP、PD、BC，由于點P和點O關(guān)于AC對稱，得到AC垂直平分OP，在Rt△PAH中，PH=$\sqrt{P{A}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{2y-\frac{1}{4}{y}^{2}}$，在Rt△OPH中，OP=$\sqrt{P{H}^{2}+O{H}^{2}}$=$\sqrt{2y}$，推出OP∥BC，由平行線的性質(zhì)得到∠POH=∠CBA，證得Rt△ACB∽Rt△PHO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．

解答 解：作半徑OE⊥AC于F，如圖1，
∵沿AC折疊劣弧$\widehat{AC}$，記折疊后的劣弧為$\widehat{AmC}$．
∴OF=$\frac{1}{2}$OE=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴∠AOF=60°，∴∠ADC=120°，
∵OE⊥AC，
∴AF=CF，
在Rt△OAF中，OA=2，OF=1，
∴AF=$\sqrt{O{A}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AC=2AF=2$\sqrt{3}$，
∴S_陰影=S_扇形OAEC-S_△AOC=$\frac{120π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{1}{2}×$2$\sqrt{3}$×1=$\sqrt{3}$；
設(shè)弧AMC所在圓的圓心為P，
作PH⊥AB于H，連結(jié)OP、PD、BC，如圖2，
∵點P和點O關(guān)于AC對稱，
∴AC垂直平分OP，
∴AP=AO=2，
∵AB=4，BD=y，
∴AD=4-y，
∵PH⊥AD，
∴AH=DH=$\frac{1}{2}$AD=2-$\frac{1}{2}$y，
∴OH=OA-AH=$\frac{1}{2}$y，
在Rt△PAH中，PH=$\sqrt{P{A}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{2y-\frac{1}{4}{y}^{2}}$，
在Rt△OPH中，OP=$\sqrt{P{H}^{2}+O{H}^{2}}$=$\sqrt{2y}$，
∵沿AC折疊劣弧$\widehat{AC}$，記折疊后的劣弧為$\widehat{AmC}$，
∴OP⊥AC，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴OP∥BC，
∴∠POH=∠CBA，
∴Rt△ACB∽Rt△PHO，
∴$\frac{AC}{PH}=\frac{AB}{PO}$，
∴AC=$\frac{4•\sqrt{2y-\frac{1}{4}{y}^{2}}}{\sqrt{2y}}$=$\sqrt{16-2y}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+8．
故答案為：$\sqrt{3}$，y=-$\frac{1}{2}$x²+8．

點評 本題考查了垂徑定理、圓周角定理和切線的性質(zhì)；會利用勾股定理和相似比進行幾何計算；理解折疊的性質(zhì)和正方形的判定與性質(zhì)．