Question

3．在△ABC中，AB=AC，點D，E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且DE∥AC，∠BEF=∠A．
（1）如圖1，當(dāng)BD=EF時，圖1中是否存在與BE相等的線段？若存在與BE相等的線段？若存在請找出，并加以證明；若不存在，請說明理由．
（2）如圖2，當(dāng)BD=kEF（其中k＞1時），若AB=m，cosB=$\frac{3}{4}$，求BE的長．（用含k，m的式子表示）

Answer 1

分析 （1）過F作FP∥AB交BC于P，根據(jù)平行線的直線得到∠EPF=∠B，由已知條件得到∠A=∠BDE=∠BEF，推出△BDE≌△EFP，得到BE=PF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C，等量代換得到∠FPE=∠C，于是得到FP=FC，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BC=$\frac{3}{2}$m，BE=$\frac{3}{2}$BD，由已知條件BD=kEF，且EF=PE，求得BE=$\frac{3}{2}$k•PE，BP=（$\frac{3}{2}$k-1）PE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EPF=∠B，于是得到PF=$\frac{3}{2}$PE，由于PB+PC=BC=$\frac{3}{2}$m，列方程即可解得結(jié)果．

解答 解：（1）存在，BE=CF，
理由：如圖1，過F作FP∥AB交BC于P，
∴∠EPF=∠B，
∵∠BEF=∠A，
∵DE∥AC，
∴∠A=∠BDE=∠BEF，
在△BDE與△EFP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠EPF}\\{∠BDE=∠PEF}\\{BD=EF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△EFP，
∴BE=PF，
∵∠B=∠C，
∴∠FPE=∠C，
∴FP=FC，
∴BE=CF；

（2）如圖2，過A作AH⊥BC交BC于H，
∵AB=AC，
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC，
∵cosB=$\frac{3}{4}$，AB=m，
∴BC=2BH=$\frac{3}{2}$m，BE=$\frac{3}{2}$BD，
∵BD=kEF，∵DE∥AC，∴∠DEB=∠C，∠BDE=∠BAC，∴∠BDE=∠BEF，∵PF∥AB，∴∠B=∠FPE，∴∠PFE=∠C，∴∠FPE=∠PFE，∴EF=PE，
∴BE=$\frac{3}{2}$k•PE，
∴BP=（$\frac{3}{2}$k-1）PE，
∵∠EPF=∠B，
∴PF=$\frac{3}{2}$PE，
∴PC=$\frac{3}{2}$PF=$\frac{9}{4}$PE，
∵PB+PC=BC=$\frac{3}{2}$m，
即（$\frac{3}{2}$k-1）PE+$\frac{9}{4}$PE=$\frac{3}{2}$m，
∴PE=$\frac{6m}{6k+5}$，
∴BE=$\frac{3}{2}k•PE=\frac{9mk}{6k+5}$．

點評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角函數(shù)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．