Question

6．兩個邊長分別為a、b、c的直角三角形和一個兩條直角邊都是c的直角三角形拼成圖1．
探索發(fā)現(xiàn)：試用不同的方法計算圖1的面積，你能發(fā)現(xiàn)a、b、c間有什么數(shù)量關(guān)系？
嘗試應(yīng)用：如圖2，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，三邊分別為a、b、c，
①若b-a=2，c=10，求此三角形的周長及面積．
②若b=12，a、c均為整數(shù)，試求出所有滿足條件的a、c的值．

Answer 1

分析 探索發(fā)現(xiàn)：用不同的方法計算圖1的面積，可以發(fā)現(xiàn)a、b、c間有什么數(shù)量關(guān)系；
嘗試應(yīng)用：①由已知條件和探索發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，結(jié)合三角形的周長及面積的定義求解；
②根據(jù)題意得到方程組$\left\{\begin{array}{l}{c+a=144}\\{c-a=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{c+a=72}\\{c-a=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{c+a=48}\\{c-a=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{c+a=36}\\{c-a=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{c+a=24}\\{c-a=6}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{c+a=18}\\{c-a=8}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{c+a=16}\\{c-a=9}\end{array}\right.$，解方程組即可求解．

解答 解：探索發(fā)現(xiàn)：
圖1的面積=$\frac{1}{2}$ab×2+$\frac{1}{2}$c²=ab+$\frac{1}{2}$c²；
圖1的面積=$\frac{1}{2}$（a+b）（a+b）=$\frac{1}{2}$（a+b）²；
ab+$\frac{1}{2}$c²=$\frac{1}{2}$（a+b）²，
ab+$\frac{1}{2}$c²=$\frac{1}{2}$（a²+2ab+b²），
$\frac{1}{2}$c²=$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{2}$b²，
a²+b²=c²；
嘗試應(yīng)用：
①依題意有$\left\{\begin{array}{l}{b-a=2}\\{{a}^{2}+^{2}=1{0}^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{ab=48}\\{a+b=14}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{ab=48}\\{a+b=-14}\end{array}\right.$（舍去）．
故此三角形的周長是14+10=24，面積是48÷2=24；
②依題意有
$\left\{\begin{array}{l}{c+a=144}\\{c-a=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{c=72.5}\\{a=71.5}\end{array}\right.$（舍去）；
$\left\{\begin{array}{l}{c+a=72}\\{c-a=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{c=37}\\{a=35}\end{array}\right.$；
$\left\{\begin{array}{l}{c+a=48}\\{c-a=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{c=25.5}\\{a=22.5}\end{array}\right.$（舍去）；
$\left\{\begin{array}{l}{c+a=36}\\{c-a=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{c=20}\\{a=16}\end{array}\right.$；
$\left\{\begin{array}{l}{c+a=24}\\{c-a=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{c=15}\\{a=9}\end{array}\right.$；
$\left\{\begin{array}{l}{c+a=18}\\{c-a=8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{c=13}\\{a=5}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}{c+a=16}\\{c-a=9}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{c=12.5}\\{a=3.5}\end{array}\right.$（舍去）．
故所有滿足條件的a、c的值為a=35，c=37；a=16，c=20； a=5，c=13；a=9，c=15．

點評 考查了勾股定理的證明，三角形的周長及面積，其中難點是第（3）問，關(guān)鍵是得到關(guān)于a，c的方程組．