Question

9．如圖，某日的錢塘江觀潮信息如圖：

按上述信息，小紅將“交叉潮”形成后潮頭與乙地之間的距離s（千米）與時(shí)間t（分鐘）的函數(shù)關(guān)系用圖3表示，其中：“11：40時(shí)甲地‘交叉潮’的潮頭離乙地12千米”記為點(diǎn)A（0，12），點(diǎn)B坐標(biāo)為（m，0），曲線BC可用二次函數(shù)s=$\frac{1}{125}$t²+bt+c（b，c是常數(shù)）刻畫．
（1）求m的值，并求出潮頭從甲地到乙地的速度；
（2）11：59時(shí)，小紅騎單車從乙地出發(fā)，沿江邊公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，問(wèn)她幾分鐘后與潮頭相遇？
（3）相遇后，小紅立即調(diào)轉(zhuǎn)車頭，沿江邊公路按潮頭速度與潮頭并行，但潮頭過(guò)乙地后均勻加速，而單車最高速度為0.48千米/分，小紅逐漸落后．問(wèn)小紅與潮頭相遇到落后潮頭1.8千米共需多長(zhǎng)時(shí)間？（潮水加速階段速度v=v₀+$\frac{2}{125}$（t-30），v₀是加速前的速度）．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：經(jīng)過(guò)30分鐘后到達(dá)乙地，從而可知m=30，由于甲地到乙地是勻速運(yùn)動(dòng)，所以利用路程除以時(shí)間即可求出速度；
（2）由于潮頭的速度為0.4千米/分鐘，所以到11：59時(shí)，潮頭已前進(jìn)19×0.4=7.6千米，設(shè)小紅出發(fā)x分鐘，根據(jù)題意列出方程即可求出x的值，
（3）先求出s的解析式，根據(jù)潮水加速階段的關(guān)系式，求出潮頭的速度達(dá)到單車最高速度0.48千米/分鐘時(shí)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間t，從而可知潮頭與乙地之間的距離s，設(shè)她離乙地的距離為s₁，則s₁與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為s₁=0.48t+h（t≥35），當(dāng)t=35時(shí)，s₁=s=$\frac{11}{5}$，從而可求出h的值，最后潮頭與小紅相距1.8千米時(shí)，即s-s₁=1.8，從而可求出t的值，由于小紅與潮頭相遇后，按潮頭速度與潮頭并行到達(dá)乙地用時(shí)6分鐘，共需要時(shí)間為6+50-30=26分鐘，

解答 解：（1）由題意可知：m=30；
∴B（30，0），
潮頭從甲地到乙地的速度為：$\frac{12}{30}=0.4$千米/分鐘；

（2）∵潮頭的速度為0.4千米/分鐘，
∴到11：59時(shí)，潮頭已前進(jìn)19×0.4=7.6千米，
設(shè)小紅出發(fā)x分鐘與潮頭相遇，
∴0.4x+0.48x=12-7.6，
∴x=5
∴小紅5分鐘與潮頭相遇，

（3）把（30，0），C（55，15）代入s=$\frac{1}{125}$t²+bt+c，
解得：b=-$\frac{2}{25}$，c=-$\frac{24}{5}$，
∴s=$\frac{1}{125}$t²-$\frac{2}{25}t$-$\frac{24}{5}$
∵v₀=0.4，
∴v=$\frac{2}{125}$（t-30）+$\frac{2}{5}$，
當(dāng)潮頭的速度達(dá)到單車最高速度0.48千米/分鐘，
此時(shí)v=0.48，
∴0.48=$\frac{2}{125}$（t-30）+$\frac{2}{5}$，
∴t=35，
當(dāng)t=35時(shí)，
s=$\frac{1}{125}$t²-$\frac{2}{25}t$-$\frac{24}{5}$=$\frac{11}{5}$，
∴從t=35分（12：15時(shí)）開(kāi)始，潮頭快于小紅速度奔向丙地，小紅逐漸落后，當(dāng)小紅仍以0.48千米/分的速度勻速追趕潮頭．
設(shè)她離乙地的距離為s₁，則s₁與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為s₁=0.48t+h（t≥35），
當(dāng)t=35時(shí)，s₁=s=$\frac{11}{5}$，代入可得：h=-$\frac{73}{5}$，
∴s₁=$\frac{12}{25}t$-$\frac{73}{5}$
最后潮頭與小紅相距1.8千米時(shí)，即s-s₁=1.8，
∴$\frac{1}{125}$t²-$\frac{2}{25}t$-$\frac{24}{5}$-$\frac{12}{25}t$+$\frac{73}{5}$=1.8
解得：t=50或t=20（不符合題意，舍去），
∴t=50，
小紅與潮頭相遇后，按潮頭速度與潮頭并行到達(dá)乙地用時(shí)6分鐘，
∴共需要時(shí)間為6+50-30=26分鐘，
∴小紅與潮頭相遇到潮頭離她1.8千米外共需要26分鐘，

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，涉及一次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的解法，待定系數(shù)法求解析式等知識(shí)，綜合程度較高，屬于中等題型．