Question

6．已知函數(shù)y=x²-2mx-2（m+3）（m為常數(shù)）．
（1）證明：無論m取何值，該函數(shù)與x軸總有兩個交點(diǎn)；
（2）設(shè)函數(shù)的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁和x₂，且$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，求此函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 （1）令y=0，得到一個一元二次方程，然后求這個方程的△，通過化簡即可解答本題；
（2）根據(jù)y=0的一元二次方程，根與系數(shù)的關(guān)系，$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，可以求得m的值，從而可以得到此函數(shù)的解析式．

解答 解：（1）∵令y=0，則x²-2mx-2（m+3）=0，
∴△=（-2m）²-4×1×[-2（m+3）]=4m²+8m+24=4（m+1）²+20＞0．
∴無論m取何值，方程x²-2mx-2（m+3）=0總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．
即無論m取何值，該函數(shù)與x軸總有兩個交點(diǎn)．
（2）∵函數(shù)的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁和x₂，y=x²-2mx-2（m+3），
∴x²-2mx-2（m+3）=0時(shí)，x₁+x₂=2m，x₁x₂=-2（m+3）．
∵$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{x}_{2}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}=-\frac{1}{4}$．
∴$\frac{2m}{-2（m+3）}=-\frac{1}{4}$．
解得m=1．
∴此函數(shù)的解析式為y=x²-2x-8．

點(diǎn)評 本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、求函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是明確二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，是y=0時(shí)的方程的根，知道根與系數(shù)的關(guān)系．