Question

1．在△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=60°，BC=2+2$\sqrt{3}$，D是BC邊上異于B、C的一動(dòng)點(diǎn)，將△ABD沿AB翻折得到△ABD₁，將△ACD沿AC翻折到△ACD₂，則四邊形D₁BCD₂的面積的最大值是多少？

Answer 1

分析 根據(jù)折疊的性質(zhì)得到S${\;}_{△AB{D}_{1}}$=S_△ABD，S${\;}_{△AC{D}_{2}}$=S_△ACD，AD₁=AD₂=AD，∠D₁AD₂=2∠BAC=150°，于是得到S${\;}_{四邊形{D}_{1}BC{D}_{2}}$=2S_△ABC-S${\;}_{△A{D}_{1}{D}_{2}}$，當(dāng)四邊形D₁BCD₂的面積的最大時(shí)，AD⊥BC，解直角三角形得到CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD，BC=BD+CD=AD+$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=2+2$\sqrt{3}$，求出AD=2$\sqrt{3}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵將△ABD沿AB翻折得到△ABD₁，將△ACD沿AC翻折到△ACD₂，
∴D₁，D₂是D關(guān)于直線AB，AC的對(duì)稱點(diǎn)，
∴S${\;}_{△AB{D}_{1}}$=S_△ABD，S${\;}_{△AC{D}_{2}}$=S_△ACD，AD₁=AD₂=AD，∠D₁AD₂=2∠BAC=150°，
∴S${\;}_{四邊形{D}_{1}BC{D}_{2}}$=2S_△ABC-S${\;}_{△A{D}_{1}{D}_{2}}$，
∴當(dāng)四邊形D₁BCD₂的面積的最大時(shí)，AD⊥BC，
∴CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD，BC=BD+CD=AD+$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=2+2$\sqrt{3}$，
∴AD=2$\sqrt{3}$，
∴S${\;}_{四邊形{D}_{1}BC{D}_{2}}$=2S_△ABC-S${\;}_{△A{D}_{1}{D}_{2}}$=12+4$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{3}×2\sqrt{3}$sin150°=9+4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形的面積的求法，最大值問題，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．