Question

14．已知：△ABC是邊長為3的等邊三角形，以BC為底邊作一個頂角為120°等腰△BDC．點M、點N分別是AB邊與AC邊上的點，并且滿足∠MDN=60°．

（1）如圖1，當點D在△ABC外部時，求證：BM+CN=MN；
（2）在（1）的條件下求△AMN的周長；
（3）當點D在△ABC內(nèi)部時，其它條件不變，請在圖2中補全圖形，并直接寫出△AMN的周長．

Answer 1

分析 （1）延長AB至F，使BF=CN，連接DF，只要證明△BDF≌△CND，△DMN≌△DMF即可解決問題；
（2）利用（1）中結(jié)論即可解決問題；
（3）延長BD交AC于P，CD于Q，令KP=QM，交AC于P，連接DK．通過證明△BDQ≌△CDP，△MDQ≌△PDK，△MDN≌△KDN證得△AMN的周長=$\frac{1}{2}$（AB+AC）=3．

解答 解：（1）延長AB至F，使BF=CN，連接DF，

∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°
∴∠BCD=∠DBC=30°
∵△ABC是邊長為3的等邊三角形
∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°
∴∠DBA=∠DCA=90°
在Rt△BDF和Rt△CND中，
∵BF=CN，DB=DC
∴△BDF≌△CND
∴∠BDF=∠CDN，DF=DN
∵∠MDN=60°
∴∠BDM+∠CDN=60°
∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM為公共邊
∴△DMN≌△DMF，
∴MN=MF，
∵MF=BM+BF=MN+CN，
∴MN=BM+CN．

（2）∵MN=BM+CN，
∴△AMN的周長是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．

（3）延長BD交AC于P，CD于Q，令KP=QM，交AC于P，連接DK．

∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°，∠BDQ=∠CDP=60°
又∵△ABC等邊三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∴∠MBD=∠PCD=30°，CQ⊥AB，BP⊥AC，
∴AQ=BQ=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$，AP=PC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$，
在△BDQ和△CDP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QBD=∠PCD}\\{BD=CD}\\{∠BDQ=∠CDP}\end{array}\right.$，
∴△BDQ≌△CDP（ASA），
∴BQ=PC，QD=PD，
∵CQ⊥AB，BP⊥AC，
∴∠MQD=∠DPK=90°，
在△MDQ與△PDK中，
$\left\{\begin{array}{l}{QD=PD}\\{∠MQD=∠DPK}\\{QM=PK}\end{array}\right.$，
∴△MDQ≌△PDK（SAS），
∴∠QDM=∠PDK，DM=DK，
∵∠BDQ=60°∠MDN=60°，
∴∠QDM+∠PDN=60°，
∴∠PDK+∠PDN=60°，
即∠KDN=60°，
在△MDN與△KDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=DK}\\{∠MDN=∠KDN=60°}\\{DN=DN}\end{array}\right.$，
∴△MDN≌△KDN（SAS），
∴MN=KN=NP+PK，
∴△AMN的周長=AM+AN+MN=AM+AN+NP+PK=AM+AN+NP+QM=AQ+AP=$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$=3
故△AMN的周長為3．

點評 本題考查等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．