Question

3．拋物線y=ax²+c與x軸交于A、B兩點，頂點為C，點P在拋物線上，且位于x軸下方．
（1）如圖1，若P（1，-3）、B（4，0），①求該拋物線的解析式；②若D是拋物線上一點，滿足∠DPO=∠POB，求點D的坐標；
（2）如圖2，在（1）中的拋物線解析式不變的條件下，已知直線PA、PB與y軸分別交于E、F兩點，點點P運動時，OE+OF是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，可得答案；
②根據(jù)平行線的判定，可得PD∥OB，根據(jù)函數(shù)值相等兩點關(guān)于對稱軸對稱，可得D點坐標；
（2）作PQ⊥AB于Q點，設P（m，am²+c），A（-t，0），B（t，0），可表示出OE、OF的長，可得答案．

解答 解：
（1）①將P（1，-3），B（4，0）代入y=ax²+c，得$\left\{\begin{array}{l}{16a+c=0}\\{a+c=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{5}}\\{c=-\frac{16}{5}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{5}$x²-$\frac{16}{5}$；
②如圖1，

當點D在OP左側(cè)時，
由∠DPO=∠POB，得DP∥OB，
∴D與P關(guān)于y軸對稱，且P（1，-3），
∴D（-1，-3）；
當點D在OP右側(cè)時，延長PD交x軸于點G．
作PH⊥OB于點H，則OH=1，PH=3．
∵∠DPO=∠POB，
∴PG=OG．
設OG=x，則PG=x，HG=x-1．
在Rt△PGH中，由x²=（x-1）²+3²，得x=5．
∴點G（5，0）．
∴直線PG的解析式為y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{15}{4}$，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x-\frac{15}{4}}\\{y=\frac{1}{5}{x}^{2}-\frac{16}{5}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{11}{4}}\\{y=-\frac{27}{16}}\end{array}\right.$，．
∵P（1，-3），
∴D（$\frac{11}{4}$，-$\frac{27}{16}$）．
∴點D的坐標為（-1，-3）或（$\frac{11}{4}$，-$\frac{27}{16}$）．

（2）點P運動時，OE+OF是定值，理由如下：
如圖2，作PQ⊥AB于Q點，

設P（m，am²+c），A（-t，0），B（t，0），則at²+c=0，c=-at²．
∵PQ∥OF，
∴$\frac{PQ}{OF}$=$\frac{BQ}{BO}$，
∴OF=$\frac{PQ•BO}{BQ}$=-$\frac{-（a{m}^{2}+c）t}{t-m}$=$\frac{（a{m}^{2}-a{t}^{2}）t}{m-t}$═amt+at²．
同理OE=-amt+at²，
∴OE+OF=2at²=-2c=2OC=$\frac{16}{5}$．

點評 本題為二次函數(shù)綜合應用，涉及待定系數(shù)法、平行線的判定和性質(zhì)、函數(shù)圖象的交點、方程思想等知識．在（1）①中注意利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，在②利用函數(shù)值相等的點關(guān)于對稱軸對稱得出D點坐標是解題關(guān)鍵；在（2）用平行線分線段成比例表示出OE、OF的長是解題關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．