Question

1．如圖，四邊形ABCD是直角梯形，∠C=90°，AO⊥BC于點(diǎn)O．A、B、C、D、O分別在邊長為I的小正方形網(wǎng)格上．以O(shè)為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）AB=5（直接寫出）；
（2）畫出將△AOB饒點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)90°所得到的△A₁OB₁，并求點(diǎn)A到點(diǎn)A₁所走的路線長：
（3）求∠ABD的正切值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知，△OAB是直角三角形，有勾股定理求AB的長；
（2）因?yàn)樾�轉(zhuǎn)不改變圖形的大小與形狀，所以找出旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可；
（3）過點(diǎn)A作BD的垂線構(gòu)造三角形后設(shè)法求∠ABD的正切值．

解答 解：（1）在Rt△AOB中，
∵AB²=OA²+OB²
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{25}$=5．
（2）如下圖所示：

圖中△A₁ OB₁ 是將△AOB饒點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)90°所得到的．
求點(diǎn)A到點(diǎn)A₁所走的路線長=$\widehat{A{A}_{1}}$=$\frac{1}{4}$×2π×4=2π
（3）由圖可知：
∵AB=AD=5，
∴∠ABD=∠ADB
∴tan∠ABD=tan∠ADB=$\frac{AE}{AD}$
∵四邊形ABCD是直角梯形，∠C=90°，
∴AD∥BC，
∠ADB=∠DBC
tan∠ABD=$\frac{DC}{BC}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)、直角梯形的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義．