Question

12．如圖，已知等邊△ABC，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，∠ADE=60°，DE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）如圖1，求證：△ACD∽△DBE；
（2）如圖2，延長(zhǎng)AC交DE于點(diǎn)F，當(dāng)AF⊥DE時(shí)，寫出圖中所有與△CDF的相似三角形．

Answer 1

分析 （1）由△ABC是等邊三角形，于是得到∠ABC=∠ACB=60°，根據(jù)平角的定義得到∠EBD=∠ACD=120°，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)垂直的定義得到∠AFD=∠AFB=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠CDF=∠E=∠ADB=30°，于是得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠EBD=∠ACD=120°，
∵∠CAD+∠ADC=∠CDF+∠ADC=60°，
∴∠AD=∠BDE，
∴△ACD∽△DBE；

（2）∵AF⊥DE，
∴∠AFD=∠AFB=90°，
∵∠EAC=∠ACB=∠DCF=60°，
∴∠CDF=∠E=∠ADB=30°，
∴∠BAD=90°，
∴△CDF∽△ADF∽△ABD∽△AEF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．