Question

10．在⊙O中，AB為⊙O的直徑，AC是弦，P為直徑BA延長線上的一動(dòng)點(diǎn)，CP與⊙O相切，PA=AC，點(diǎn)F為直徑AB上一點(diǎn)，延長CF交⊙O于點(diǎn)M
（1）如圖1，求證：∠AOC=60°；
（2）如圖2，當(dāng)∠AFM+∠ABM=90°，BC=$\sqrt{3}$時(shí)，求OF的長．

Answer 1

分析 （1）由AP=AC，推出∠P=∠ACP，由∠P+∠POC=90°，∠PCA+∠ACO=90°，推出∠POC=∠ACO，推出OA=OC=AC，由此即可解決問題．
（2）由∠MAB+∠ABM=90°，∠AFM+∠ABM=90°，推出∠MAF=∠MFA，只要證明BC=BF即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，

∵PC是⊙O切線，
∴PC⊥OC，
∴∠PCO=90°，
∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP，
∵∠P+∠POC=90°，∠PCA+∠ACO=90°，
∴∠POC=∠ACO，
∴AC=AO=CO，
∴△ACO是等邊三角形，
∴∠AOC=60°．

（2）如圖2中，連接BC、AM．

∵AB是直徑，
∴∠AMB=90°，
∵∠MAB+∠ABM=90°，∠AFM+∠ABM=90°，
∴∠MAF=∠MFA，
∵∠MAB=∠MCB，∠AFM=∠CFB，
∴∠BCF=∠BFC，
∴BC=BF，
在Rt△ACB中，∠CAB=60°，BC=$\sqrt{3}$，
∴sin60°=$\frac{BC}{AB}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{AB}$，
∴AB=2，OA=OB=1，
∴AF=AB-BF=2-$\sqrt{3}$，
∴OF=OA-AF=1-（2-$\sqrt{3}$）=$\sqrt{3}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的綜合題、等邊三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用這些知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，充分利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決問題，屬于中考?jí)狠S題．