Question

10．如圖，∠BCA=∠CDA=90°
（1）求證：CD²=BD•DA；
（2）若AC=3，BC=4，求BD，DA的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠B=∠ACD，推出△BCD∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結論；
（2）根據(jù)勾股定理得到AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=5，通過△BDC∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}$，于是得到BD=$\frac{B{C}^{2}}{AB}$=$\frac{16}{5}$，即可得到結論．

解答 （1）證明：∵∠BCA=∠CDA=90°，
∴∠B+∠BCD=∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠B=∠ACD，
∴△BCD∽△ACD，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{AD}{CD}$，
∴CD²=BD•DA；

（2）解：∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=5，
∵∠BDC=∠ACB=90°，∠B=∠B，
∴△BDC∽△ABC，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}$，
∴BD=$\frac{B{C}^{2}}{AB}$=$\frac{16}{5}$，
∴AD=AB-BD=$\frac{9}{5}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，余角的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．