Question

16．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC是⊙O的直徑，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：∠BCA=∠BAD；
（2）求證：BE是⊙O的切線；
（3）求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理得出即可；
（2）連接BO，求出OB∥DE，推出EB⊥OB，根據(jù)切線的判定得出即可；
（3）由圓周角定理求出∠ABC=90°，根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，證明△BED∽△CBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，計(jì)算即可．

解答 （1）證明：∵BD=BA，
∴∠BDA=∠BAD．
∵∠BCA=∠BDA，
∴∠BCA=∠BAD．
（2）證明：連結(jié)OB，如圖，
∵∠BCA=∠BDA，
又∵∠BCE=∠BAD，
∴∠BCA=∠BCE，
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠CBO，
∴∠BCE=∠CBO，
∴OB∥ED．                          
∵BE⊥ED，
∴EB⊥BO．
∴BE是⊙O的切線．    
（3）解：∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13．                 
∵∠BDE=∠CAB，∠BED=∠CBA=90°，
∴△BED∽△CBA，
∴$\frac{BD}{AC}=\frac{DE}{AB}$，即$\frac{12}{13}=\frac{DE}{12}$，
∴DE=$\frac{144}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、及圓周角定理的應(yīng)用，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角、同弧所對(duì)的圓周角相等、經(jīng)過半徑的外端并且垂直于半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵．