Question

6．如圖，等腰直角三角形ABC的一直角邊AB在直線L上，將該三角形繞著頂點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，至邊BC落在直線L上，再繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至邊CA落在直線L上，若AB=1，則頂點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡與直線L圍成的圖形的面積是π+$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 在等腰直角三角形ABC中，AB=1，根據(jù)勾股定理得到AC的長(zhǎng)為$\sqrt{2}$，求出∠BC₁C=∠BCA、∠A₁C₁C，頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A₁的位置時(shí)，點(diǎn)A經(jīng)過的路線與直線l所圍成的面積是兩個(gè)扇形的面積+△BCC₁的面積．根據(jù)扇形的面積公式可以進(jìn)行計(jì)算．

解答 解：如圖，

在等腰直角三角形ABC中，∵AB=1，
∴AC=$\sqrt{2}$，∠BCA=45°，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，CC₁=AC=$\sqrt{2}$，∠BC₁C=∠BCA=45°
∴∠A₁C₁C=135°，
則S=$\frac{90π•{1}^{2}}{360}$+$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{135π•（\sqrt{2}）^{2}}{360}$
=π+$\frac{1}{2}$，
故答案為：π+$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了扇形的面積計(jì)算、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是弄清頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A₁的位置時(shí)，點(diǎn)A經(jīng)過的路線與直線l所圍成的圖形的形狀．