Question

7．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸分別交于A（-1，0），B（5，0）兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在第二象限內(nèi)取一點(diǎn)C，作CD垂直X軸于點(diǎn)D，鏈接AC，且AD=5，CD=8，將Rt△ACD沿x軸向右平移m個(gè)單位，當(dāng)點(diǎn)C落在拋物線上時(shí)，求m的值；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)C第一次落在拋物線上記為點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)．試探究：在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；
（2）由題意可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)平移后的點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′，則C′點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8，代入拋物線解析式可求得C′點(diǎn)的坐標(biāo)，則可求得平移的單位，可求得m的值；
（3）由（2）可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，連接BE交對(duì)稱軸于點(diǎn)M，過E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，當(dāng)BE為平行四邊形的邊時(shí)，過Q作對(duì)稱軸的垂線，垂足為N，則可證得△PQN≌△EFB，可求得QN，即可求得Q到對(duì)稱軸的距離，則可求得Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)BE為對(duì)角線時(shí)，由B、E的坐標(biāo)可求得線段BE的中點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)Q（x，y），由P點(diǎn)的橫坐標(biāo)則可求得Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：
（1）∵拋物線y=-x²+bx+c與x軸分別交于A（-1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-25+5b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²+4x+5；

（2）∵AD=5，且OA=1，
∴OD=6，且CD=8，
∴C（-6，8），
設(shè)平移后的點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′，則C′點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8，
代入拋物線解析式可得8=-x²+4x+5，解得x=1或x=3，
∴C′點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，8）或（3，8），
∵C（-6，8），
∴當(dāng)點(diǎn)C落在拋物線上時(shí)，向右平移了7或9個(gè)單位，
∴m的值為7或9；

（3）∵y=-x²+4x+5=-（x-2）²+9，
∴拋物線對(duì)稱軸為x=2，
∴可設(shè)P（2，t），
由（2）可知E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，8），
①當(dāng)BE為平行四邊形的邊時(shí)，連接BE交對(duì)稱軸于點(diǎn)M，過E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，過Q作對(duì)稱軸的垂線，垂足為N，如圖，

則∠BEF=∠BMP=∠QPN，
在△PQN和△EFB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠QPN=∠BEF}\\{∠PNQ=∠EFB}\\{PQ=BE}\end{array}\right.$
∴△PQN≌△EFB（AAS），
∴NQ=BF=OB-OF=5-1=4，
設(shè)Q（x，y），則QN=|x-2|，
∴|x-2|=4，解得x=-2或x=6，
當(dāng)x=-2或x=6時(shí)，代入拋物線解析式可求得y=-7，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-7）或（6，-7）；
②當(dāng)BE為對(duì)角線時(shí)，
∵B（5，0），E（1，8），
∴線段BE的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4），則線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4），
設(shè)Q（x，y），且P（2，t），
∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入拋物線解析式可求得y=5，
∴Q（4，5）；
綜上可知Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，-7）或（6，-7）或（4，5）．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、平移的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．在（1）注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中求得平移后C點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出Q點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．