Question

10．兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DEF重疊在一起，其中∠A=60°，AC=1，固定△ABC不動(dòng)，將△DEF進(jìn)行如下操作：
（1）操作發(fā)現(xiàn)
如圖①，△DEF沿線段AB向右平移（即D點(diǎn)在線段AB內(nèi)移動(dòng)），連接DC、CF、FB，四邊形CDBF的形狀在不斷變化，但它的面積不變化，請(qǐng)求出其面積．
（2）猜想論證
如圖②，當(dāng)D點(diǎn)移到AB的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)你猜想四邊形CDBF的形狀，并說(shuō)明理由．
（3）拓展研究
如圖③，△DEF的D點(diǎn)固定在AB的中點(diǎn)，然后繞D點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)△DEF，使DF落在AB的邊上，此時(shí)F點(diǎn)恰好與B點(diǎn)重合，連接AE，則sinα=$\frac{\sqrt{21}}{14}$．

Answer 1

分析 （1）如圖1，先利用平移的性質(zhì)得CF=AD，AC=DF，則可判斷四邊形ACFD為平行四邊形，利用三角形面積公式得到S_△DCF=S_△BCF=S_△ACD，則S_{四邊形CDBF}=S_△ACB，然后計(jì)算S_△ABC即可；
（2）如圖2，利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得DC=DA=DB，則可證明四邊形CDBF為平行四邊形，于是可判斷四邊形CDBF為菱形；
（3）作DH⊥AE于H，如圖，先計(jì)算出AB=2AC=2，則AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=1，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠EFD=90°，EB=$\sqrt{3}$，DE=AB=2，接著利用勾股定理計(jì)算出AE=$\sqrt{7}$，然后利用面積法可計(jì)算出DH=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，再在Rt△EDH中利用正弦的定義求sinα的值．

解答 解：（1）如圖1，∵△DEF沿線段AB向右平移（即D點(diǎn)在線段AB內(nèi)移動(dòng)），
∴CF=AD，AC=DF，
∴四邊形ACFD為平行四邊形，
∴AD∥CF，
∴S_△DCF=S_△BCF=S_△ACD，
∴S_{四邊形CDBF}=S_△CDB+S_△BCF=S_△CDB+S_△ACD=S_△ACB，
在Rt△ACB中，∵∠A=60°，
∴BC=$\sqrt{3}$AC=$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_{四邊形CDBF}=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；

（2）四邊形CDBF為菱形．理由如下：
如圖2，∵點(diǎn)D為斜邊AB的中點(diǎn)，
∴DC=DA=DB，
∵CF∥AD，CF=AD，
∴CF=BD，CF∥DB，
∴四邊形CDBF為平行四邊形，
而DC=DB，
∴四邊形CDBF為菱形；

（3）作DH⊥AE于H，如圖，
在Rt△ACB中，∵∠A=60°，
∴AB=2AC=2，
∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=1，
∵繞D點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)△DEF，使DF落在AB邊上，此時(shí)F點(diǎn)恰好與B點(diǎn)重合，
∴∠EFD=90°，EB=$\sqrt{3}$，DE=AB=2，
在Rt△ABE中，AE=$\sqrt{B{E}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∵$\frac{1}{2}$DH•AB=$\frac{1}{2}$AD•EB，
∴DH=$\frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
在Rt△EDH中，sinα=$\frac{DH}{DE}$=$\frac{\sqrt{21}}{14}$．
故答案為$\frac{\sqrt{21}}{14}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和菱形的判定方法、平行線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、直角三角形30度角性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題