Question

2．如圖，⊙O的內(nèi)接正五邊形ABCDE的對角線AD與BE相交于點G，AE=2，則EG的長是$\sqrt{5}$-1．

Answer 1

分析 在⊙O的內(nèi)接正五邊形ABCDE中，設EG=x，易知：∠AEB=∠ABE=∠EAG=36°，∠BAG=∠AGB=72°，推出AB=BG=AE=2，由△AEG∽△BEA，可得AE²=EG•EB，可得2²=x（x+2），解方程即可．

解答 解：在⊙O的內(nèi)接正五邊形ABCDE中，設EG=x，
易知：∠AEB=∠ABE=∠EAG=36°，
∠BAG=∠AGB=72°，
∴AB=BG=AE=2，
∵∠AEG=∠AEB，∠EAG=∠EBA，
∴△AEG∽△BEA，
∴AE²=EG•EB，
∴2²=x（x+2），
解得x=-1+$\sqrt{5}$或-1-$\sqrt{5}$，
∴EG=$\sqrt{5}$-1，
故答案為$\sqrt{5}$-1．

點評 本題考查正多邊形與圓、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學會構建方程解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．