Question

13．如圖，將一塊直角三角板OAB放在平面直角坐標(biāo)系中，B（2，0），∠AOB=60°，點(diǎn)A在第一象限，過點(diǎn)A的雙曲線為y=$\frac{k}{x}$，在x軸上取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線OA的垂線l，以直線l為對稱軸，線段OB經(jīng)軸對稱變換后的像是O′B′．設(shè)P（t，0），當(dāng)O′B′與雙曲線有交點(diǎn)時，t的取值范圍是4≤t≤2$\sqrt{5}$或-2$\sqrt{5}$≤t≤-4．

Answer 1

分析 當(dāng)點(diǎn)O′與點(diǎn)A重合時，即點(diǎn)O與點(diǎn)A重合，進(jìn)一步解直角三角形AOB，利用軸對稱求得此時點(diǎn)P的坐標(biāo)，即t的最小值；然后求出B′在雙曲線上時，P的坐標(biāo)即可．

解答 解：當(dāng)點(diǎn)O′與點(diǎn)A重合時，
∵∠AOB=60°，過點(diǎn)P作直線OA的垂線l，以直線l為對稱軸，線段OB經(jīng)軸對稱變換后是O′B′，AP=OP，
∴△AOP′是等邊三角形，
∵B（2，0），
∴BO=BP′=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（4，0），
即當(dāng)P的坐標(biāo)是（4，0）時，直線O?B?與雙曲線有交點(diǎn)O′；
當(dāng)B′在雙曲線上時，作B′C⊥OP于C，
∵BP=B′P，∠B′BP=60°，
∴△BB′P是等邊三角形，
∴BP=B′P=t-2，
∴CP=$\frac{1}{2}$（t-2），B′C=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-2），
∴OC=OP-CP=$\frac{1}{2}$t+1，
∴B′的坐標(biāo)是（$\frac{1}{2}$t+1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-2）），
∵∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=2，
∴OA=4，AB=2$\sqrt{3}$，
∴A（2，2$\sqrt{3}$），
∵A和B′都在雙曲線上，
∴（$\frac{1}{2}$t+1）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-2））=2×2$\sqrt{3}$，
解得：t=±2$\sqrt{5}$，
∴t的取值范圍是4≤t≤2$\sqrt{5}$或-2$\sqrt{5}$≤t≤-4．
故答案為：4≤t≤2$\sqrt{5}$或-2$\sqrt{5}$≤t≤-4．

點(diǎn)評 本題主要考查對用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式，勾股定理，解二元一次方程組，解不等式，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，根的判別式等知識點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵，此題是一個拔高的題目，有一定的難度．