Question

2．已知：如圖（1），在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，P是AD上一點(diǎn)，連接BP并延長(zhǎng)，分別與AC，CF交于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）求證：PB²=PE•PF；
（2）若點(diǎn)P在AD的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，如圖（2），那么（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不需證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BD=CD，于是得到AD垂直平分BC，由線段垂直平分線的性質(zhì)得到BP=CP，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠PBC=∠PCB，于是得到∠ABP=∠ACP，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABP=∠F，等量代換得到∠F=∠ACP，推出△PCE∽△PCF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）由（1）證得∠ABP=∠ACP，由平行線的性質(zhì)得到∠CFE=∠ABP，于是得到∠ACP=∠CFE，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得到∠PCE=∠CFP，推出△CPF∽△PCE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴AD垂直平分BC，
∴BP=CP，
∴∠PBC=∠PCB，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ABP=∠ACP，
∵AB‖CF，
∴∠ABP=∠F，
∴∠F=∠ACP，
∵∠EPC為公共角，
∴△PCE∽△PCF，
∴$\frac{PC}{PF}=\frac{PE}{PC}$，
∴PC²=PF•PE
∵BP=CP，
∴BP²=PF•PE；

（2）成立，
由（1）證得∠ABP=∠ACP，
∵CF∥AB，
∴∠CFE=∠ABP，
∴∠ACP=∠CFE，
∴∠PCE=∠CFP，
∵∠CPF=∠CPF，
∴△CPF∽△PCE，
∴$\frac{PC}{PF}=\frac{PE}{PC}$，
∴PC²=PF•PE
∵BP=CP，
∴BP²=PF•PE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．