Question

14．設a，b是兩個不相等的正整數(shù)，P為質(zhì)數(shù)，滿足b²+a=p²，且$\frac{{a}^{2}+b}{^{2}+a}$是整數(shù)．
（1）求證：a＞b；
（2）求p的值；
（3）求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）運用不等式的性質(zhì)和因式分解，由$\frac{{a}^{2}+b}{^{2}+a}$≥1可推出a≥b，然后用反證法證明a=b不成立，從而解決問題；
（2）設$\frac{{a}^{2}+b}{^{2}+a}$=k（其中k＞1，k為正整數(shù)），則有a²+b=k（b²+a）=kp²，與條件“b²+a=p²”結(jié)合，可得p²=$\frac{（a-b）（a+b-1）}{k-1}$．若$\frac{a-b}{k-1}$為正整數(shù)，則$\frac{a-b}{k-1}$與a+b-1中有一個是1，另一個是p²，或兩個都是p；若$\frac{a+b-1}{k-1}$是正整數(shù)，則a-b與$\frac{a+b-1}{k-1}$中有一個是1，另一個是p²，或兩個都是p．只需通過分類討論就可解決問題；
（3）由（2）可知，只有當$\frac{a+b-1}{k-1}$=a-b=p時，存在正整數(shù)a、b及質(zhì)數(shù)p，使得條件成立，此時（a-b）²=p²=b²+a，整理得a=2b+1，從而得到k=$\frac{{a}^{2}+b}{^{2}+a}$=4-$\frac{3}{b+1}$．由k是大于1的正整數(shù)可得$\frac{3}{b+1}$是小于3的正整數(shù)，從而求出b，就可得到a．

解答 解：（1）∵a，b是兩個不相等的正整數(shù)，
∴a²+b，b²+a都是正整數(shù)，a+b-1＞0．
∵$\frac{{a}^{2}+b}{^{2}+a}$是整數(shù)，
∴$\frac{{a}^{2}+b}{^{2}+a}$≥1，
∴a²+b≥b²+a，
∴a²+b-b²-a=（a+b）（a-b）-（a-b）=（a-b）（a+b-1）≥0，
∴a-b≥0即a≥b．
假設a=b，
則有p²=b²+a=a²+a=a（a+1）．
∵a與a+1連續(xù)整數(shù)，
∴p²是偶數(shù)，
∵P為質(zhì)數(shù)，
∴p=2，
∴b²+a=4，
∴b=1，a=3，
∴$\frac{{a}^{2}+b}{^{2}+a}$=$\frac{10}{4}$=$\frac{5}{2}$，
與條件“$\frac{{a}^{2}+b}{^{2}+a}$是整數(shù)”矛盾，
∴a＞b；

（2）設$\frac{{a}^{2}+b}{^{2}+a}$=k（其中k＞1，k為正整數(shù)），
則有a²+b=k（b²+a）=kp²，
∴（k-1）p²=kp²-p²=a²+b-b²-a=（a-b）（a+b-1），
∴p²=$\frac{（a-b）（a+b-1）}{k-1}$．
∵P是質(zhì)數(shù)，
∴p²=1×p²=p×p．
①$\frac{a-b}{k-1}$=1且a+b-1=p²，
此時a+b-1=p²=b²+a，整理得b²-b+1=0，
方程無解．
②$\frac{a-b}{k-1}$=p²且a+b-1=1，
此時a+b=2，與條件“a、b為不相等的正整數(shù)”矛盾；
③$\frac{a-b}{k-1}$=a+b-1=p，
此時（a+b-1）²=p²=b²+a，
∴a=（a+b-1）²-b²=（a+2b-1）（a-1），
∴a+2b-1=$\frac{a}{a-1}$=1+$\frac{1}{a-1}$．
∵a+2b-1為整數(shù)，
∴$\frac{1}{a-1}$也是整數(shù)，
∴正整數(shù)a=2．
∵a＞b，
∴正整數(shù)b=1，
∴p=a+b-1=2，
∴$\frac{1}{k-1}$=2，
∴k=$\frac{3}{2}$，與k為正整數(shù)矛盾；
④$\frac{a+b-1}{k-1}$=1且a-b=p²，
此時a-b=p²=b²+a，
整理得b²+b=0，
解得b₁=0，b₂=-1，
與b為正整數(shù)矛盾；
⑤$\frac{a+b-1}{k-1}$=p²且a-b=1，
此時a=b+1，
k=$\frac{{a}^{2}+b}{^{2}+a}$=$\frac{（b+1）^{2}+b}{^{2}+b+1}$
=$\frac{^{2}+3b+1}{^{2}+b+1}$
=1+$\frac{2b}{^{2}+b+1}$
∵b²+b+1-2b=b²-b+1=（b-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$＞0，
∴b²+b+1＞2b＞0，
∴$\frac{2b}{^{2}+b+1}$＜1，
∴k＜2，
與“k是大于1的正整數(shù)”矛盾；
⑥$\frac{a+b-1}{k-1}$=a-b=p，
此時（a-b）²=p²=b²+a，
整理得a=2b+1，
則k=$\frac{{a}^{2}+b}{^{2}+a}$=$\frac{（2b+1）^{2}+b}{^{2}+2b+1}$=$\frac{4^{2}+5b+1}{^{2}+2b+1}$
=$\frac{（4b+1）（b+1）}{（b+1）^{2}}$=$\frac{4b+1}{b+1}$=4-$\frac{3}{b+1}$．
∵k是大于1的正整數(shù)，
∴$\frac{3}{b+1}$是小于3的正整數(shù)，
∴整數(shù)b+1=3，
∴b=2，
∴a=2b+1=5，
∴p=a-b=3．
綜上所述：p=3；

（3）由（2）可知，
只有當$\frac{a+b-1}{k-1}$=a-b=p時，存在正整數(shù)a、b及質(zhì)數(shù)p，使得條件成立，
此時（a-b）²=p²=b²+a，整理得a=2b+1，
則k=$\frac{{a}^{2}+b}{^{2}+a}$=$\frac{（2b+1）^{2}+b}{^{2}+2b+1}$=$\frac{4^{2}+5b+1}{^{2}+2b+1}$
=$\frac{（4b+1）（b+1）}{（b+1）^{2}}$=$\frac{4b+1}{b+1}$=4-$\frac{3}{b+1}$．
∵k是大于1的正整數(shù)，
∴$\frac{3}{b+1}$是小于3的正整數(shù)，
∴整數(shù)b+1=3，
∴b=2，
∴a=2b+1=5．

點評 本題考查了質(zhì)數(shù)與合數(shù)、質(zhì)因數(shù)的分解、因式分解、分式的分解等知識，難度比較大，在解決問題的過程中用到了分類討論、轉(zhuǎn)化（將一個分式轉(zhuǎn)化為一個整數(shù)與一個分子是整數(shù)的簡單分式的和）、反證法等重要的數(shù)學思想方法，應學會使用．