Question

4．梯形ABCD中，AD∥BC，分別從兩腰AB、CD為邊作正方形ABGE和CDFH．M為EF中點(diǎn)，求證：MA=MD．

Answer 1

分析 過M作MN⊥AD于N，過F作FQ⊥MN于Q，過E作EP⊥MN于P，過D作DH⊥FQ于H，交BC于I，證△FHD≌△DIC，推出FH=DI，求出FQ=DI+DN，同理EP=DI+AN，證Rt△EPM≌Rt△FQM，求出FQ=EP，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出即可．

解答 證明：過M作MN⊥AD于N，過F作FQ⊥MN于Q，過E作EP⊥MN于P，過D作DH⊥FQ于H，交BC于I．

在△FHD與△DIC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=90°-∠FDH=∠CDI}\\{∠FHD=∠DIC=90°}\\{DF=DC}\end{array}\right.$，
∴△FHD≌△DIC（AAS），
∴FH=DI，
∴FQ=FH+HQ=DI+DN
同理可得，EP=DI+AN，
在△EPM和△FQM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EPM=∠FQM=90°}\\{∠EMP=∠FMQ}\\{EM=FM}\end{array}\right.$，
∴Rt△EPM≌Rt△FQM（AAS），
∴EP=FQ，
∴AN=DN，
∵M(jìn)N⊥AD，
∴MA=MD

點(diǎn)評 本題主要考查對梯形，全等三角形的性質(zhì)和判定，線段的垂直平分線性質(zhì)，正方形，對頂角等知識點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．